Matemáticas IIFácil2 pts

Probabilidad

Extremadura · 2021 · Junio

Enunciado

Un mecánico compra ruedas a dos marcas A y B. Compra el

40\,\%

a la marca A que tiene un

3\,\%

de ruedas defectuosas. Y compra el resto a la marca B con un

1\,\%

de defectuosas. El mecánico tiene que cambiar una rueda y elige una al azar.

a) (1 punto) Calcular la probabilidad de que dicha rueda sea defectuosa.

b) (1 punto) Si la rueda es defectuosa, calcular la probabilidad de que sea de la marca A.

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Resultado

\boxed{\;\text{a) } P(D) = 0{,}018\qquad \text{b) } P(A \mid D) = \frac23 \approx 0{,}6667\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

La rueda se elige en dos etapas: primero la marca (A o B) y después si es defectuosa o no. Un diagrama de árbol organiza los datos: los porcentajes de defectuosas son probabilidades condicionadas a la marca. En a) sumamos las ramas que acaban en «defectuosa» (teorema de la probabilidad total) y en b) invertimos la condición con el teorema de Bayes.

Desarrollo

Sucesos.

A

= «la rueda es de la marca A»,

B

= «la rueda es de la marca B»,

D

= «la rueda es defectuosa». Los datos son:

P(A) = 0{,}4, \qquad P(B) = 1 - 0{,}4 = 0{,}6, \qquad P(D \mid A) = 0{,}03, \qquad P(D \mid B) = 0{,}01

Árbol.

Marca A ( $0{,}4$ ): defectuosa ( $0{,}03$ ) → $0{,}4\cdot 0{,}03 = 0{,}012$ ; no defectuosa ( $0{,}97$ ) → $0{,}388$ .
Marca B ( $0{,}6$ ): defectuosa ( $0{,}01$ ) → $0{,}6\cdot 0{,}01 = 0{,}006$ ; no defectuosa ( $0{,}99$ ) → $0{,}594$ .

(Las cuatro ramas suman

0{,}012 + 0{,}388 + 0{,}006 + 0{,}594 = 1

✓.)

a)

A

B

forman un sistema completo de sucesos (toda rueda es de una marca y solo de una). Por el teorema de la probabilidad total:

P(D) = P(A)\,P(D \mid A) + P(B)\,P(D \mid B) = 0{,}4\cdot 0{,}03 + 0{,}6\cdot 0{,}01 = 0{,}012 + 0{,}006 = 0{,}018

Es decir, un

1{,}8\,\%

.

b) Por el teorema de Bayes:

P(A \mid D) = \frac{P(A)\,P(D \mid A)}{P(D)} = \frac{0{,}012}{0{,}018} = \frac23 \approx 0{,}6667

Comprobación de sentido. Aunque solo el

40\,\%

de las ruedas son de A, A tiene el triple de defectuosas que B, así que entre las defectuosas predomina A: dos de cada tres, coherente con

0{,}012

frente a

0{,}006

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

El $3\,\%$ de defectuosas de la marca A es $P(D \mid A)$ , no $P(A \cap D)$ : hay que multiplicarlo por $P(A) = 0{,}4$ antes de sumar. Escribir bien cada dato con su notación evita la mitad de los errores.

En b) la pregunta va «al revés» del árbol (sabemos que es defectuosa y preguntamos la marca): esa es la señal de que toca Bayes, con $P(D)$ del apartado a) en el denominador.