Matemáticas IIMedio2 pts

Integrales

Extremadura · 2021 · Junio

Enunciado

Sean las funciones

f(x) = x^2

g(x) = \sqrt x

.

a) (0,5 puntos) Representar la región plana delimitada por las gráficas de las funciones

f(x)

g(x)

en el intervalo

[0, 2]

.

b) (1,5 puntos) Calcular el área de la región anterior.

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Resultado

\boxed{\;\text{a) Cortes en } x = 0 \text{ y } x = 1;\ \sqrt x \ge x^2 \text{ en } [0, 1],\ x^2 \ge \sqrt x \text{ en } [1, 2]\;}

\boxed{\;\text{b) } A = \frac13 + \left(3 - \frac{4\sqrt 2}{3}\right) = \frac{10 - 4\sqrt 2}{3} \approx 1{,}448 \ \text{u}^2\;}

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Estrategia

Primero buscamos dónde se cortan las dos curvas dentro de

[0, 2]

: esos puntos parten el intervalo en tramos, y en cada tramo una de las funciones va por encima de la otra. La región es la que queda entre las dos gráficas de

x = 0

x = 2

.

El área es la integral de «la de arriba menos la de abajo» en cada tramo, calculada con la regla de Barrow. Hay que partir la integral en el punto de corte interior: si se integra

g - f

0

2

de una vez, el tramo donde

f

va por encima resta en lugar de sumar.

Desarrollo

a) Puntos de corte.

x^2 = \sqrt x \;\Rightarrow\; x^4 = x \;\Rightarrow\; x(x^3 - 1) = 0 \;\Rightarrow\; x = 0 \ \text{o}\ x = 1

Las dos curvas pasan por

(0, 0)

(1, 1)

.

Posición relativa. Tomamos un punto de cada tramo:

En $(0, 1)$ , con $x = \frac14$ : $f\!\left(\frac14\right) = \frac1{16}$ y $g\!\left(\frac14\right) = \frac12$ . Luego $g$ va por encima de $f$ .
En $(1, 2]$ , con $x = 2$ : $f(2) = 4$ y $g(2) = \sqrt 2 \approx 1{,}41$ . Luego $f$ va por encima de $g$ .

Esbozo.

f(x) = x^2

es la parábola con vértice en el origen, que crece cada vez más deprisa: pasa por

(1, 1)

(2, 4)

g(x) = \sqrt x

es media parábola «tumbada», que crece cada vez más despacio: pasa por

(1, 1)

(2, \sqrt 2)

. La región tiene dos partes:

una «lente» entre $x = 0$ y $x = 1$ , con $\sqrt x$ arriba y $x^2$ abajo;
un trozo entre $x = 1$ y $x = 2$ , con $x^2$ arriba y $\sqrt x$ abajo, cerrado a la derecha por la recta $x = 2$ (de $(2, \sqrt 2)$ a $(2, 4)$ ).

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

b) Primitivas que necesitamos:

\int x^2\,dx = \dfrac{x^3}{3}

\int \sqrt x\,dx = \int x^{1/2}\,dx = \dfrac{2}{3}x^{3/2}

.

Tramo $[0, 1]$ (

g

por encima):

A_1 = \int_0^1 \left(\sqrt x - x^2\right)dx = \left[\frac23 x^{3/2} - \frac{x^3}{3}\right]_0^1 = \frac23 - \frac13 = \frac13

Tramo $[1, 2]$ (

f

por encima):

A_2 = \int_1^2 \left(x^2 - \sqrt x\right)dx = \left[\frac{x^3}{3} - \frac23 x^{3/2}\right]_1^2 = \left(\frac83 - \frac23\cdot 2\sqrt 2\right) - \left(\frac13 - \frac23\right) = \frac83 - \frac{4\sqrt 2}{3} + \frac13 = 3 - \frac{4\sqrt 2}{3}

(usando

2^{3/2} = 2\sqrt 2

).

Área total.

A = A_1 + A_2 = \frac13 + 3 - \frac{4\sqrt 2}{3} = \frac{10 - 4\sqrt 2}{3} \approx 1{,}448 \ \text{u}^2

Comprobación de sentido.

A_2 \approx 3 - 1{,}886 = 1{,}114 > 0

, como debe ser un área. Si se hubiera integrado

\sqrt x - x^2

0

2

sin partir, saldría

\frac13 - 1{,}114 < 0

: el signo delata el error.

Consejo

El fallo más común es calcular $\int_0^2 (\sqrt x - x^2)\,dx$ de una sola vez: como las curvas se cruzan en $x = 1$ , hay que partir la integral y poner en cada tramo la de arriba menos la de abajo (o tomar el valor absoluto de cada trozo).

En a) basta un esbozo claro, pero marca los puntos de corte $(0, 0)$ y $(1, 1)$ , los valores en $x = 2$ y sombrea la región: es lo que se puntúa.