Matemáticas IIFácil2 pts

Integrales

Extremadura · 2021 · Junio

Enunciado

Calcular la integral racional (2 puntos)

\int \frac{3x}{x^2 + x - 2}\,dx.

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\int \frac{3x}{x^2 + x - 2}\,dx = \ln|x - 1| + 2\ln|x + 2| + C\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

El numerador tiene grado menor que el denominador, así que no hace falta dividir. Factorizamos el denominador, que tiene dos raíces reales simples, y descomponemos en fracciones simples: cada una se integra como un logaritmo neperiano. Terminamos derivando para comprobar.

Desarrollo

Factorización del denominador.

x^2 + x - 2 = 0 \iff x = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2} = \frac{-1 \pm 3}{2} \iff x = 1 \ \text{o}\ x = -2

x^2 + x - 2 = (x - 1)(x + 2)

Descomposición en fracciones simples. Buscamos

A

B

tales que

\frac{3x}{(x - 1)(x + 2)} = \frac{A}{x - 1} + \frac{B}{x + 2} = \frac{A(x + 2) + B(x - 1)}{(x - 1)(x + 2)}

Igualando numeradores,

3x = A(x + 2) + B(x - 1)

para todo

x

. Damos a

x

los valores de las raíces:

$x = 1$ : $\ 3 = 3A \;\Rightarrow\; A = 1$ .
$x = -2$ : $\ -6 = -3B \;\Rightarrow\; B = 2$ .

\frac{3x}{x^2 + x - 2} = \frac{1}{x - 1} + \frac{2}{x + 2}

Integración. Cada sumando es inmediato (

\int \frac{dx}{x - a} = \ln|x - a|

\int \frac{3x}{x^2 + x - 2}\,dx = \int \frac{dx}{x - 1} + 2\int \frac{dx}{x + 2} = \ln|x - 1| + 2\ln|x + 2| + C

que también puede escribirse como

\ln\bigl(|x - 1|\,(x + 2)^2\bigr) + C

.

Comprobación. Derivando:

\frac{d}{dx}\Bigl(\ln|x - 1| + 2\ln|x + 2|\Bigr) = \frac{1}{x - 1} + \frac{2}{x + 2} = \frac{(x + 2) + 2(x - 1)}{(x - 1)(x + 2)} = \frac{3x}{x^2 + x - 2} \ \checkmark

Consejo

Los valores absolutos en los logaritmos no son un adorno: sin ellos la primitiva solo vale donde $x - 1 > 0$ y $x + 2 > 0$ . Y no olvides la constante $C$ .

Para hallar $A$ y $B$ , sustituir $x$ por las raíces del denominador es mucho más rápido que igualar coeficientes: cada valor anula uno de los sumandos.