Límites y continuidad

Planteamiento. Las gráficas de $f$ y $g$ se cortan en los $x$ con $f(x) = g(x)$, o sea, en los ceros de$$h(x) = g(x) - f(x) = e^x - (2 - x^2) = e^x + x^2 - 2$$Teorema de Bolzano. Si $h$ es continua en un intervalo cerrado $[a, b]$ y $h(a)$ y $h(b)$ tienen signos opuestos, entonces existe al menos un $c \in (a, b)$ con $h(c) = 0$.

Hipótesis de continuidad. $h$ es suma de una exponencial y un polinomio, funciones continuas en todo $\mathbb{R}$; por tanto $h$ es continua en $\mathbb{R}$ y, en particular, en cualquier intervalo cerrado.

Valores de $h$ en algunos enteros.$$h(-2) = e^{-2} + 4 - 2 = 2 + \frac{1}{e^2} > 0, \qquad h(-1) = e^{-1} + 1 - 2 = \frac1e - 1 < 0$$$$h(0) = 1 + 0 - 2 = -1 < 0, \qquad h(1) = e + 1 - 2 = e - 1 > 0$$(porque $\frac1e \approx 0{,}37 < 1$ y $e \approx 2{,}72 > 1$).

Primer punto de corte. En $[-2, -1]$, $h$ es continua y $h(-2) > 0 > h(-1)$. Por Bolzano, existe $c_1 \in (-2, -1)$ con $h(c_1) = 0$, es decir, $f(c_1) = g(c_1)$.

Segundo punto de corte. En $[0, 1]$, $h$ es continua y $h(0) < 0 < h(1)$. Por Bolzano, existe $c_2 \in (0, 1)$ con $h(c_2) = 0$.

Como los intervalos $(-2, -1)$ y $(0, 1)$ no se solapan, $c_1 \neq c_2$: las gráficas se cortan al menos en dos puntos, $(c_1, e^{c_1})$ y $(c_2, e^{c_2})$, cada uno dentro de un intervalo de longitud $1$:$$c_1 \in [-2, -1], \qquad c_2 \in [0, 1]$$Comprobación (y algo más). Numéricamente, $c_1 \approx -1{,}316$ y $c_2 \approx 0{,}537$, dentro de los intervalos hallados. Además, $h''(x) = e^x + 2 > 0$, así que $h$ es convexa y no puede tener más de dos ceros: los puntos de corte son exactamente dos.