Derivadas y aplicaciones

Dominio. $e^{-x^2}$ está definida para todo $x$: $\operatorname{Dom} f = \mathbb{R}$. Además $f(x) > 0$ siempre y $f(-x) = f(x)$: la función es par (simétrica respecto del eje $OY$).

Asíntotas.

Verticales: no tiene, porque $f$ es continua en todo $\mathbb{R}$ (composición de un polinomio y una exponencial).

Horizontales: cuando $x \to \pm\infty$, $-x^2 \to -\infty$, luego$$\lim_{x \to +\infty} e^{-x^2} = 0, \qquad \lim_{x \to -\infty} e^{-x^2} = 0$$La recta $y = 0$ es asíntota horizontal por los dos lados (la gráfica queda por encima, porque $f > 0$).

Oblicuas: no tiene, porque ya hay asíntota horizontal en $+\infty$ y en $-\infty$.

Monotonía y extremos relativos. Por la regla de la cadena:$$f'(x) = e^{-x^2}\cdot(-2x) = -2x\,e^{-x^2}$$Como $e^{-x^2} > 0$, $f'(x) = 0 \iff x = 0$, y el signo de $f'$ es el de $-2x$:$f$ es creciente en $(-\infty, 0)$ y decreciente en $(0, +\infty)$. En $x = 0$ pasa de crecer a decrecer: máximo relativo en $(0, f(0)) = (0, 1)$. No hay mínimos relativos.

Puntos de inflexión. Derivamos $f'(x) = -2x\,e^{-x^2}$ como un producto:$$f''(x) = -2\,e^{-x^2} + (-2x)\cdot(-2x)\,e^{-x^2} = (4x^2 - 2)\,e^{-x^2} = 2\,(2x^2 - 1)\,e^{-x^2}$$$$f''(x) = 0 \iff 2x^2 - 1 = 0 \iff x = \pm\frac{1}{\sqrt 2} = \pm\frac{\sqrt 2}{2}$$El signo de $f''$ es el de $2x^2 - 1$, que es positivo fuera de las raíces y negativo entre ellas:En $x = \pm\frac{\sqrt 2}{2}$ la curvatura cambia, así que son puntos de inflexión. Su ordenada es$$f\!\left(\pm\frac{\sqrt 2}{2}\right) = e^{-1/2} = \frac{1}{\sqrt e} \approx 0{,}6065$$Comprobación de sentido. Es la «campana de Gauss»: sube desde la asíntota $y = 0$, llega al máximo $(0, 1)$ y vuelve a bajar hacia $y = 0$, simétrica respecto de $OY$; los dos puntos de inflexión, simétricos, son donde la campana pasa de abrirse hacia arriba a abrirse hacia abajo.