Áreas, volúmenes y distancias

Planos paralelos a $\Pi$. Un plano paralelo a $\Pi$ tiene su mismo vector normal, $\vec n = (1, 1, 1)$:$$\Pi' \equiv x + y + z = D, \qquad D \neq 1$$($D = 1$ es el propio $\Pi$; y $D = 0$ no sirve, porque ese plano pasa por el origen y los tres cortes coinciden en $(0, 0, 0)$, sin triángulo.)

Puntos de corte con los ejes. En el eje $OX$ es $y = z = 0$, luego $x = D$; igual con los otros dos:$$A = (D, 0, 0), \qquad B = (0, D, 0), \qquad C = (0, 0, D)$$Área del triángulo.$$\vec{AB} = (-D,\ D,\ 0), \qquad \vec{AC} = (-D,\ 0,\ D)$$$$\vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ -D & D & 0 \\ -D & 0 & D \end{vmatrix} = (D^2 - 0)\,\vec i - (-D^2 - 0)\,\vec j + (0 + D^2)\,\vec k = (D^2,\ D^2,\ D^2)$$$$|\vec{AB} \times \vec{AC}| = \sqrt{3D^4} = \sqrt 3\,D^2 \quad\Longrightarrow\quad \text{Área} = \frac{\sqrt 3}{2}\,D^2$$Imponemos el área pedida.$$\frac{\sqrt 3}{2}\,D^2 = 2\sqrt 3 \iff D^2 = 4 \iff D = 2 \ \text{o}\ D = -2$$Hay dos planos que cumplen la condición (simétricos respecto del origen):$$\Pi_1 \equiv x + y + z = 2, \qquad \Pi_2 \equiv x + y + z = -2$$El enunciado pide uno; cualquiera de los dos es válido.

Comprobación. Con $D = 2$ el triángulo tiene vértices $(2,0,0)$, $(0,2,0)$ y $(0,0,2)$: es equilátero de lado $|\vec{AB}| = \sqrt{4 + 4} = 2\sqrt 2$, y el área de un triángulo equilátero de lado $\ell$ es $\frac{\sqrt 3}{4}\ell^2 = \frac{\sqrt 3}{4}\cdot 8 = 2\sqrt 3$ ✓.