Rectas y planos

De los datos:$$P_r = (4,\ 2,\ -2), \qquad \vec v = (2,\ 1,\ -1), \qquad \vec n = (k,\ 1,\ -1)$$a) Condición 1: $r$ paralela a $\Pi$ (o contenida), es decir, $\vec v \perp \vec n$:$$\vec v \cdot \vec n = 2k + 1 + 1 = 2k + 2 = 0 \iff k = -1$$Condición 2: el punto $P_r$ está en $\Pi$. Sustituimos $(4, 2, -2)$ en la ecuación del plano:$$4k + 2 - (-2) = 4k + 4 = 0 \iff k = -1$$Las dos condiciones se cumplen a la vez para $k = -1$, y solo para ese valor. Con $k = -1$ el plano es $\Pi \equiv -x + y - z = 0$ y contiene a $r$.

Comprobación. Otro punto de $r$ (con $t = 1$ en las paramétricas) es $(6, 3, -3)$: $-6 + 3 - (-3) = 0$ ✓. Dos puntos de la recta en el plano: la recta entera está en él.

b) Con $k = 0$ el plano es $\Pi \equiv y - z = 0$, con $\vec n = (0, 1, -1)$. Calculamos:$$\vec v \cdot \vec n = 2\cdot 0 + 1\cdot 1 + (-1)(-1) = 2$$$$|\vec v| = \sqrt{4 + 1 + 1} = \sqrt 6, \qquad |\vec n| = \sqrt{0 + 1 + 1} = \sqrt 2$$El ángulo entre recta y plano es el complementario del ángulo entre $\vec v$ y $\vec n$, de modo que$$\operatorname{sen}\alpha = \frac{|\vec v \cdot \vec n|}{|\vec v|\,|\vec n|} = \frac{2}{\sqrt 6\,\sqrt 2} = \frac{2}{\sqrt{12}} = \frac{1}{\sqrt 3} = \frac{\sqrt 3}{3}$$$$\alpha = \operatorname{arc\,sen}\frac{\sqrt 3}{3} \approx 35{,}26^\circ \ (35^\circ\,15'\,52'')$$Comprobación de sentido. $\vec v \cdot \vec n \neq 0$, así que con $k = 0$ la recta no es paralela al plano: lo corta, y el ángulo está entre $0^\circ$ y $90^\circ$, como sale. El ángulo entre $\vec v$ y $\vec n$ es $90^\circ - 35{,}26^\circ = 54{,}74^\circ$.