Sistemas de ecuaciones

Matriz de coeficientes y ampliada:$$A = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & -\lambda \\ \lambda & -1 \end{pmatrix}, \qquad A^* = \left(\begin{array}{cc|c} 1 & -1 & \lambda \\ 1 & -\lambda & \lambda \\ \lambda & -1 & \lambda \end{array}\right)$$Determinante de la ampliada. Sacamos $\lambda$ factor común de la tercera columna y restamos la primera fila a la segunda y a la tercera:$$|A^*| = \lambda\begin{vmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 1 & -\lambda & 1 \\ \lambda & -1 & 1 \end{vmatrix} = \lambda\begin{vmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1-\lambda & 0 \\ \lambda - 1 & 0 & 0 \end{vmatrix}$$Desarrollando por la segunda fila:$$|A^*| = \lambda\,(1-\lambda)\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ \lambda - 1 & 0 \end{vmatrix} = \lambda\,(1-\lambda)\bigl(0 - (\lambda - 1)\bigr) = \lambda\,(\lambda - 1)^2$$$$|A^*| = 0 \iff \lambda = 0 \ \text{o}\ \lambda = 1$$Rango de $A$. El menor de las dos primeras filas es$$\begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 1 & -\lambda \end{vmatrix} = -\lambda + 1 = 1 - \lambda$$que no se anula si $\lambda \neq 1$; entonces $\operatorname{rg}(A) = 2$.

Caso $\lambda \neq 0$ y $\lambda \neq 1$. $|A^*| \neq 0$, luego $\operatorname{rg}(A^*) = 3$, mientras que $\operatorname{rg}(A) = 2$ (una matriz $3 \times 2$ no puede tener rango 3). Como $\operatorname{rg}(A) \neq \operatorname{rg}(A^*)$: sistema incompatible, sin solución.

Caso $\lambda = 0$. El sistema queda$$\left\{\begin{array}{l} x - y = 0 \\ x = 0 \\ -y = 0 \end{array}\right.$$$\operatorname{rg}(A) = 2$ (el menor $1 - \lambda$ vale $1 \neq 0$) y $\operatorname{rg}(A^*) = 2$ (es homogéneo: la columna de términos independientes es nula y $|A^*| = 0$). Como $\operatorname{rg}(A) = \operatorname{rg}(A^*) = 2 =$ número de incógnitas: sistema compatible determinado. De la segunda y la tercera, $x = 0$ e $y = 0$, que cumplen la primera.

Caso $\lambda = 1$. Las tres ecuaciones son la misma:$$x - y = 1$$Todas las filas de $A^*$ son $(1,\ -1 \mid 1)$, así que $\operatorname{rg}(A) = \operatorname{rg}(A^*) = 1 < 2$: sistema compatible indeterminado, con $2 - 1 = 1$ parámetro. Tomando $y = t$:$$x = 1 + t, \qquad y = t, \qquad t \in \mathbb{R}$$Comprobación. Con $\lambda = 1$ y $(1 + t,\ t)$: $x - y = 1 + t - t = 1$ ✓ en las tres ecuaciones. Con $\lambda = 0$ y $(0, 0)$: $0 - 0 = 0$, $0 = 0$, $-0 = 0$ ✓. Y con un valor cualquiera, por ejemplo $\lambda = 2$: de la primera y la segunda, $x - y = 2$ y $x - 2y = 2$ dan $y = 0$, $x = 2$, pero la tercera exigiría $2\cdot 2 - 0 = 4 = 2$, falso: incompatible, como se dijo.