Matrices

Calculamos $M^2$ multiplicando filas por columnas:$$M^2 = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 + 1 & 2 + 2 \\ 2 + 2 & 1 + 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 & 4 \\ 4 & 5 \end{pmatrix}$$Escribimos el primer miembro de la ecuación como una sola matriz:$$M^2 + \lambda_1 M + \lambda_2 I = \begin{pmatrix} 5 & 4 \\ 4 & 5 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2\lambda_1 & \lambda_1 \\ \lambda_1 & 2\lambda_1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} \lambda_2 & 0 \\ 0 & \lambda_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 + 2\lambda_1 + \lambda_2 & 4 + \lambda_1 \\ 4 + \lambda_1 & 5 + 2\lambda_1 + \lambda_2 \end{pmatrix}$$Para que sea la matriz nula, cada elemento debe valer $0$. Los dos de la diagonal dan la misma ecuación, y los dos de fuera de la diagonal también:$$\left\{\begin{array}{l} 4 + \lambda_1 = 0 \\ 5 + 2\lambda_1 + \lambda_2 = 0 \end{array}\right.$$De la primera, $\lambda_1 = -4$. Sustituyendo en la segunda, $5 - 8 + \lambda_2 = 0$, es decir, $\lambda_2 = 3$.

El sistema tiene solución, y es única: existen escalares con los que $M$ verifica la ecuación, y solo esos. Por tanto $M$ verifica$$M^2 - 4M + 3I = 0$$Comprobación.$$M^2 - 4M + 3I = \begin{pmatrix} 5 & 4 \\ 4 & 5 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 8 & 4 \\ 4 & 8 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 - 8 + 3 & 4 - 4 + 0 \\ 4 - 4 + 0 & 5 - 8 + 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \ \checkmark$$