Matemáticas IIFácil2 pts

Probabilidad

Extremadura · 2021 · Julio

Enunciado

En un estudio a 1000 estudiantes europeos, 500 saben hablar inglés, 300 saben hablar español, y 100 de ellos hablan los dos idiomas. Se elige un estudiante al azar del estudio:

a) (1 punto) Calcular la probabilidad de que hable alguno de los dos idiomas.

b) (1 punto) Calcular la probabilidad de que hable español, sabiendo que habla inglés.

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Resultado

\boxed{\text{a) } P(I \cup E) = 0{,}7 \qquad \text{b) } P(E \mid I) = 0{,}2}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Llamamos

I

= «habla inglés» y

E

= «habla español». Con la regla de Laplace,

P(I) = 0{,}5

P(E) = 0{,}3

P(I \cap E) = 0{,}1

. «Alguno de los dos» es la unión, que se calcula restando la intersección para no contarla dos veces. «Sabiendo que habla inglés» es una probabilidad condicionada. Una tabla de doble entrada ayuda a verlo todo.

Desarrollo

Sucesos:

I

= «el estudiante habla inglés»,

E

= «el estudiante habla español». Por la regla de Laplace (casos favorables entre 1000):

P(I) = \frac{500}{1000} = 0{,}5, \qquad P(E) = \frac{300}{1000} = 0{,}3, \qquad P(I \cap E) = \frac{100}{1000} = 0{,}1

Tabla de doble entrada con los recuentos:

	$E$	$\overline{E}$	Total
$I$	100	400	500
$\overline{I}$	200	300	500
Total	300	700	1000

a) «Habla alguno de los dos idiomas» es

I \cup E

P(I \cup E) = P(I) + P(E) - P(I \cap E) = 0{,}5 + 0{,}3 - 0{,}1 = 0{,}7

Comprobación con la tabla: hablan alguno

100 + 400 + 200 = 700

de 1000, es decir,

0{,}7

; o bien, por el complementario, no habla ninguno

\frac{300}{1000} = 0{,}3

1 - 0{,}3 = 0{,}7

✓.

b) Probabilidad condicionada:

P(E \mid I) = \frac{P(E \cap I)}{P(I)} = \frac{0{,}1}{0{,}5} = 0{,}2

Con la tabla: de los 500 que hablan inglés, 100 hablan español,

\frac{100}{500} = 0{,}2

✓.

Consejo

«Alguno de los dos» es la unión y no la suma: si sumas $0{,}5 + 0{,}3$ cuentas dos veces a los 100 que hablan los dos idiomas.

En b) el «sabiendo que» cambia el total de referencia: ya no son los 1000 estudiantes, sino los 500 que hablan inglés.