Dadas las funciones f(x) = 3x - x^2 y g(x) = x^2 - 2x, calcular el área de la región limitada por sus gráficas.

Matemáticas IIFácil2 pts

Integrales

Extremadura · 2021 · Julio

Enunciado

Dadas las funciones

f(x) = 3x - x^2

g(x) = x^2 - 2x

, calcular el área de la región limitada por sus gráficas.

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Resultado

\boxed{A = \int_0^{5/2}\left(5x - 2x^2\right)dx = \frac{125}{24} \approx 5{,}21 \ \text{u}^2}

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Estrategia

Las dos son parábolas:

f

abre hacia abajo y

g

hacia arriba, así que encierran un único recinto entre sus dos puntos de corte. Igualamos para hallar los límites de integración, vemos cuál va por encima en medio y aplicamos la regla de Barrow a la diferencia (la de arriba menos la de abajo).

Desarrollo

Puntos de corte.

3x - x^2 = x^2 - 2x \;\Longrightarrow\; 2x^2 - 5x = 0 \;\Longrightarrow\; x(2x - 5) = 0 \;\Longrightarrow\; x = 0,\ x = \frac{5}{2}

Los puntos son

(0, 0)

\left(\frac52, \frac54\right)

(pues

f\!\left(\frac52\right) = \frac{15}{2} - \frac{25}{4} = \frac54

).

¿Cuál va por encima? En

x = 1

, dentro de

\left(0, \frac52\right)

f(1) = 2

g(1) = -1

. Como las dos son continuas y no se cortan en medio,

f \geq g

en todo el intervalo. La diferencia es

f(x) - g(x) = 5x - 2x^2

Área.

A = \int_0^{5/2} \left(5x - 2x^2\right) dx = \left[\frac{5x^2}{2} - \frac{2x^3}{3}\right]_0^{5/2}

A = \frac{5}{2}\cdot\frac{25}{4} - \frac{2}{3}\cdot\frac{125}{8} - 0 = \frac{125}{8} - \frac{125}{12} = \frac{375 - 250}{24} = \frac{125}{24}

A = \frac{125}{24} \approx 5{,}21 \ \text{u}^2

Comprobación. El área entre una parábola

ax^2 + bx + c

(aquí la diferencia, con

a = -2

) y el eje entre sus raíces

x_1, x_2

vale

\frac{|a|\,(x_2 - x_1)^3}{6} = \frac{2\cdot(5/2)^3}{6} = \frac{2\cdot 125/8}{6} = \frac{125}{24}

✓.

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Integra la diferencia «la de arriba menos la de abajo» y comprueba quién va arriba con un valor intermedio. Si lo haces al revés te sale el área con signo negativo: no la des así, toma el valor absoluto y explica por qué.

No hace falta separar por los cortes con el eje $OX$ : solo importan los cortes entre las dos gráficas.