Matemáticas IIFácil2 pts

Integrales

Extremadura · 2021 · Julio

Enunciado

Resolver la integral

\displaystyle\int \ln^2(x)\, dx

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\int \ln^2(x)\, dx = x\ln^2 x - 2x\ln x + 2x + C = x\left(\ln^2 x - 2\ln x + 2\right) + C}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

\ln^2(x)

significa

(\ln x)^2

. No es inmediata, pero se resuelve por partes: tomamos

u = \ln^2 x

(al derivarla baja el exponente) y

dv = dx

. Aparece

\int \ln x\, dx

, que se vuelve a hacer por partes. Al final se comprueba derivando.

Desarrollo

Recordamos la fórmula de integración por partes:

\int u\, dv = u\,v - \int v\, du

Primera integración por partes. Tomamos

u = \ln^2 x \;\Rightarrow\; du = 2\ln x\cdot\frac{1}{x}\,dx, \qquad dv = dx \;\Rightarrow\; v = x

\int \ln^2 x\, dx = x\ln^2 x - \int x\cdot\frac{2\ln x}{x}\,dx = x\ln^2 x - 2\int \ln x\, dx

Segunda integración por partes. Para

\int \ln x\, dx

u = \ln x \;\Rightarrow\; du = \frac{1}{x}\,dx, \qquad dv = dx \;\Rightarrow\; v = x

\int \ln x\, dx = x\ln x - \int x\cdot\frac{1}{x}\,dx = x\ln x - x

Juntando:

\int \ln^2 x\, dx = x\ln^2 x - 2(x\ln x - x) + C = x\ln^2 x - 2x\ln x + 2x + C

Comprobación (derivando).

\frac{d}{dx}\bigl(x\ln^2 x - 2x\ln x + 2x\bigr) = \ln^2 x + x\cdot\frac{2\ln x}{x} - 2\ln x - 2x\cdot\frac{1}{x} + 2 = \ln^2 x + 2\ln x - 2\ln x - 2 + 2 = \ln^2 x\ ✓

Consejo

Con logaritmos solos la elección es siempre la misma: $u$ = el logaritmo y $dv = dx$ . Cada integración por partes rebaja en uno la potencia del logaritmo.

Cuidado con el signo al sustituir la segunda integral: es $-2(x\ln x - x)$ , que da $+2x$ . Y no olvides la constante $C$ .