Matemáticas IIMedio2 pts

Derivadas y aplicaciones

Extremadura · 2021 · Julio

Enunciado

Sea la función

f(x) = \dfrac{2 - x^2}{x^2 - 4}

.

a) (1,5 puntos) Estudiar las asíntotas, monotonía y puntos extremos de la función

f(x)

.

b) (0,5 puntos) Con los datos obtenidos, representar de forma aproximada la gráfica de

f(x)

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\text{A.V.: } x = -2,\ x = 2;\quad \text{A.H.: } y = -1}

\boxed{\text{Decrece en } (-\infty, -2)\cup(-2, 0);\ \text{crece en } (0, 2)\cup(2, +\infty);\ \text{mín. relativo } \left(0, -\tfrac12\right)}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Es una función racional: el dominio son los reales salvo los ceros del denominador,

x = \pm 2

. Las asíntotas verticales están en esos puntos (el numerador no se anula en ellos) y estudiamos los límites laterales para saber hacia dónde se va la gráfica. Como numerador y denominador tienen el mismo grado, hay asíntota horizontal (cociente de coeficientes principales) y no oblicua.

Para la monotonía derivamos con la regla del cociente y estudiamos el signo de

f'

; donde cambia de signo hay un extremo. Con todo eso, más los cortes con los ejes y la simetría (la función es par), se dibuja la gráfica.

Desarrollo

Dominio.

x^2 - 4 = 0 \iff x = \pm 2

, así que

\operatorname{Dom} f = \mathbb{R} \setminus \{-2, 2\}

. Además

f(-x) = f(x)

: la función es par y su gráfica es simétrica respecto del eje

OY

.

a) Asíntotas verticales. En

x = 2

el numerador vale

2 - 4 = -2 \neq 0

y el denominador

0

: hay asíntota vertical. Lateralmente (

x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)

\lim_{x \to 2^-} \frac{2 - x^2}{x^2 - 4} = \frac{-2}{0^-} = +\infty, \qquad \lim_{x \to 2^+} \frac{2 - x^2}{x^2 - 4} = \frac{-2}{0^+} = -\infty

x = -2

ocurre lo mismo por simetría:

\lim_{x \to -2^-} f(x) = \frac{-2}{0^+} = -\infty, \qquad \lim_{x \to -2^+} f(x) = \frac{-2}{0^-} = +\infty

Asíntotas verticales:

x = 2

x = -2

.

Asíntota horizontal.

\lim_{x \to \pm\infty} \frac{2 - x^2}{x^2 - 4} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{-x^2}{x^2} = -1

Asíntota horizontal

y = -1

\pm\infty

(y, por tanto, no hay oblicuas). Para saber por dónde se acerca:

f(x) - (-1) = \frac{2 - x^2 + x^2 - 4}{x^2 - 4} = \frac{-2}{x^2 - 4} < 0 \quad \text{si } |x| > 2

así que en

\pm\infty

la gráfica va por debajo de

y = -1

.

Monotonía. Por la regla del cociente:

f'(x) = \frac{(-2x)(x^2 - 4) - (2 - x^2)(2x)}{(x^2 - 4)^2} = \frac{-2x^3 + 8x - 4x + 2x^3}{(x^2 - 4)^2} = \frac{4x}{(x^2 - 4)^2}

El denominador es positivo en todo el dominio, así que el signo de

f'

es el de

4x

, que solo se anula en

x = 0

Intervalo	$(-\infty, -2)$	$(-2, 0)$	$(0, 2)$	$(2, +\infty)$
Signo de $f'$	$-$	$-$	$+$	$+$
$f$	decrece	decrece	crece	crece

f

es decreciente en

(-\infty, -2) \cup (-2, 0)

y creciente en

(0, 2) \cup (2, +\infty)

.

Extremos. En

x = 0

la derivada pasa de negativa a positiva (y

0

está en el dominio): hay un mínimo relativo en

f(0) = \frac{2}{-4} = -\frac{1}{2} \;\Longrightarrow\; \text{mínimo relativo en } \left(0, -\tfrac{1}{2}\right)

No hay más extremos:

x = \pm 2

no son del dominio.

b) Gráfica. Añadimos los cortes con el eje

OX

2 - x^2 = 0 \iff x = \pm\sqrt 2 \approx \pm 1{,}41

; con el eje

OY

, el propio mínimo

\left(0, -\frac12\right)

. Y algún valor:

f(1) = -\frac13

f(3) = -\frac75

En $(-2, 2)$ la gráfica tiene forma de U: baja desde $+\infty$ (junto a $x = -2$ ), corta el eje en $-\sqrt 2$ , llega al mínimo $\left(0, -\frac12\right)$ , vuelve a cortar en $\sqrt 2$ y sube a $+\infty$ junto a $x = 2$ .
Para $x > 2$ sube desde $-\infty$ (pegada a $x = 2$ ) y se acerca a $y = -1$ por debajo, sin alcanzarla.
Para $x < -2$ es la simétrica: viene de $y = -1$ por debajo en $-\infty$ y baja a $-\infty$ junto a $x = -2$ .

La simulación dibuja la gráfica con su derivada y la tangente horizontal en el mínimo:

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

En las asíntotas verticales no basta con decir « $x = 2$ »: el corrector espera los dos límites laterales con su signo, que son además los que te dicen cómo dibujar la gráfica.

Al dar la monotonía, separa los intervalos por las asíntotas: $(-\infty, -2) \cup (-2, 0)$ , nunca $(-\infty, 0)$ , porque $x = -2$ no es del dominio.