Límites y continuidad

a) Para $x \neq 0$, $f(x) = \dfrac{e^x - 1 - x}{x^2}$. El numerador es continuo en todo $\mathbb{R}$ (suma de una exponencial y un polinomio) y el denominador $x^2$ es un polinomio que solo se anula en $x = 0$. Un cociente de funciones continuas es continuo donde el denominador no se anula, así que $f$ es continua en todo $x \neq 0$, sea cual sea $a$.

b) $f$ es continua en $x = 0$ si y solo si existe $\lim_{x \to 0} f(x)$ y vale $f(0) = a$.

Al sustituir $x = 0$ en el cociente: numerador $e^0 - 1 - 0 = 0$, denominador $0$. Indeterminación $\frac{0}{0}$. Numerador y denominador son derivables, así que aplicamos L'Hôpital:$$\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1 - x}{x^2} \overset{\frac00}{=} \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{2x}$$Sigue siendo $\frac{0}{0}$ ($e^0 - 1 = 0$). Volvemos a aplicar L'Hôpital:$$\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{2x} \overset{\frac00}{=} \lim_{x \to 0} \frac{e^x}{2} = \frac{e^0}{2} = \frac{1}{2}$$El límite existe y vale $\frac12$ (por los dos lados, ya que la expresión es la misma a izquierda y derecha). Para que $f$ sea continua en $0$:$$a = f(0) = \lim_{x \to 0} f(x) = \frac{1}{2}$$Comprobación numérica. Con $x = 0{,}01$: $\dfrac{e^{0{,}01} - 1 - 0{,}01}{0{,}0001} \approx \dfrac{0{,}0000502}{0{,}0001} \approx 0{,}502$, muy cerca de $0{,}5$ ✓.