Matemáticas IIFácil2 pts

Vectores y ángulos

Extremadura · 2021 · Julio

Enunciado

Calcular un vector de módulo 3 que sea perpendicular a los vectores

\vec u = (1, 1, -1)

\vec v = (2, 1, 0)

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\vec x = \left(\frac{\sqrt 6}{2},\ -\sqrt 6,\ -\frac{\sqrt 6}{2}\right) \quad \text{(o su opuesto } -\vec x\text{)}}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

El producto vectorial

\vec u \times \vec v

es perpendicular a

\vec u

y a

\vec v

a la vez. Todos los vectores perpendiculares a ambos son proporcionales a él (los dos no son paralelos), así que basta con normalizarlo (dividir por su módulo) y multiplicar por 3. Hay dos soluciones, una y su opuesta.

Desarrollo

Calculamos el producto vectorial:

\vec w = \vec u \times \vec v = \begin{vmatrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ 1 & 1 & -1 \\ 2 & 1 & 0 \end{vmatrix} = \bigl(1\cdot 0 - (-1)\cdot 1,\ -(1\cdot 0 - (-1)\cdot 2),\ 1\cdot 1 - 1\cdot 2\bigr) = (1, -2, -1)

Su módulo:

|\vec w| = \sqrt{1^2 + (-2)^2 + (-1)^2} = \sqrt{6}

El vector unitario en esa dirección es

\dfrac{\vec w}{\sqrt 6}

; multiplicándolo por 3 obtenemos uno de módulo 3:

\vec x = \frac{3}{\sqrt 6}(1, -2, -1) = \frac{\sqrt 6}{2}(1, -2, -1) = \left(\frac{\sqrt 6}{2},\ -\sqrt 6,\ -\frac{\sqrt 6}{2}\right)

(se ha racionalizado:

\frac{3}{\sqrt 6} = \frac{3\sqrt 6}{6} = \frac{\sqrt 6}{2}

). El opuesto,

-\vec x

, también cumple las condiciones.

Comprobación.

\vec x \cdot \vec u = \frac{\sqrt 6}{2}(1 - 2 + 1) = 0\ ✓, \qquad \vec x \cdot \vec v = \frac{\sqrt 6}{2}(2 - 2 + 0) = 0\ ✓

|\vec x| = \frac{\sqrt 6}{2}\cdot\sqrt 6 = \frac{6}{2} = 3\ ✓

Consejo

El esquema es siempre el mismo: producto vectorial para la dirección perpendicular a los dos vectores, dividir por su módulo y multiplicar por la longitud pedida.

Menciona que el opuesto también vale: el enunciado pide «un vector», pero decir que hay dos demuestra que entiendes la situación.

Paso 1 de 3

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