Rectas y planos

Elementos de las rectas. De $r$: punto $A = (1, 2, 1)$ y director $\vec u = (1, -3, 0)$.

De $s$: los normales de sus planos son $\vec n_1 = (1, 1, 1)$ y $\vec n_2 = (1, -1, -1)$, y$$\vec n_1 \times \vec n_2 = \begin{vmatrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & -1 \end{vmatrix} = (-1 + 1,\ 1 + 1,\ -1 - 1) = (0, 2, -2)$$Tomamos como director el proporcional $\vec v = (0, 1, -1)$. Para un punto, sumamos las dos ecuaciones: $2x = 6$, $x = 3$, y entonces $y + z = -1$; con $z = 0$, $y = -1$. Punto $B = (3, -1, 0)$ (cumple $3 - 1 + 0 = 2$ y $3 + 1 - 0 = 4$ ✓).

a) El plano $\Pi$ contiene a $r$ (pasa por $A$ y contiene la dirección $\vec u$) y es paralelo a $s$ (contiene la dirección $\vec v$). Su vector normal es perpendicular a los dos:$$\vec n = \vec u \times \vec v = \begin{vmatrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ 1 & -3 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \end{vmatrix} = \bigl(3 - 0,\ -(-1 - 0),\ 1 - 0\bigr) = (3, 1, 1)$$Plano por $A = (1, 2, 1)$ con normal $(3, 1, 1)$:$$3(x - 1) + (y - 2) + (z - 1) = 0 \;\Longrightarrow\; \Pi: 3x + y + z - 6 = 0$$Comprobación. $A$: $3 + 2 + 1 - 6 = 0$ ✓; $\vec n \cdot \vec u = 3 - 3 + 0 = 0$ ✓ (contiene a $r$); $\vec n \cdot \vec v = 0 + 1 - 1 = 0$ ✓ (paralelo a $s$). Además $B \notin \Pi$ ($9 - 1 + 0 - 6 = 2 \neq 0$), así que $s$ es paralela a $\Pi$ sin estar contenida en él.

b) Los directores $(1, -3, 0)$ y $(0, 1, -1)$ no son proporcionales y el producto mixto $[\overrightarrow{AB}, \vec u, \vec v]$, con $\overrightarrow{AB} = (2, -3, -1)$, vale $\overrightarrow{AB} \cdot (\vec u \times \vec v) = 6 - 3 - 1 = 2 \neq 0$: las rectas se cruzan.

Como $r \subset \Pi$ y $s \parallel \Pi$, la distancia entre las rectas es la de cualquier punto de $s$ al plano $\Pi$. Con $B = (3, -1, 0)$:$$d(r, s) = d(B, \Pi) = \frac{|3\cdot 3 + (-1) + 0 - 6|}{\sqrt{3^2 + 1^2 + 1^2}} = \frac{2}{\sqrt{11}} = \frac{2\sqrt{11}}{11} \approx 0{,}603 \ \text{u}$$Comprobación con la fórmula de las rectas que se cruzan:$$d(r, s) = \frac{\left|[\overrightarrow{AB}, \vec u, \vec v]\right|}{|\vec u \times \vec v|} = \frac{2}{\sqrt{11}}\ ✓$$