Sistemas de ecuaciones

Matriz de coeficientes y ampliada:$$A = \begin{pmatrix} a & 1 \\ 1 & a \\ a & 2 \end{pmatrix}, \qquad A^* = \left(\begin{array}{cc|c} a & 1 & 1 \\ 1 & a & a \\ a & 2 & 1 \end{array}\right)$$Rango de $A$. El menor formado por las filas 1 y 3 vale$$\begin{vmatrix} a & 1 \\ a & 2 \end{vmatrix} = 2a - a = a$$y el de las filas 1 y 2 vale $a^2 - 1$. No se anulan a la vez (si $a = 0$, el segundo vale $-1$), así que $\operatorname{rg}(A) = 2$ para todo $a$.

Determinante de la ampliada (Sarrus):$$|A^*| = a\cdot a\cdot 1 + 1\cdot a\cdot a + 1\cdot 1\cdot 2 - \bigl[1\cdot a\cdot a + a\cdot a\cdot 2 + 1\cdot 1\cdot 1\bigr] = 2a^2 + 2 - (3a^2 + 1) = 1 - a^2$$$$|A^*| = 0 \iff a^2 = 1 \iff a = 1 \ \text{o}\ a = -1$$Caso $a \neq 1$ y $a \neq -1$. $|A^*| \neq 0$, luego $\operatorname{rg}(A^*) = 3 \neq \operatorname{rg}(A) = 2$: sistema incompatible (no tiene solución).

Caso $a = 1$. El sistema queda$$\left\{\begin{array}{l} x + y = 1 \\ x + y = 1 \\ x + 2y = 1 \end{array}\right.$$$\operatorname{rg}(A) = 2$ y, como $|A^*| = 0$, $\operatorname{rg}(A^*) = 2$. Rangos iguales al número de incógnitas: sistema compatible determinado. La segunda ecuación repite la primera; restando la primera de la tercera, $y = 0$, y entonces $x = 1$.$$a = 1:\quad x = 1,\ y = 0$$Caso $a = -1$. El sistema queda$$\left\{\begin{array}{l} -x + y = 1 \\ x - y = -1 \\ -x + 2y = 1 \end{array}\right.$$De nuevo $\operatorname{rg}(A) = 2$ (el menor $\begin{vmatrix} -1 & 1 \\ -1 & 2 \end{vmatrix} = -1 \neq 0$) y $\operatorname{rg}(A^*) = 2$: sistema compatible determinado. La segunda ecuación es la primera cambiada de signo; restando la primera de la tercera, $y = 0$, y entonces $-x = 1$, o sea $x = -1$.$$a = -1:\quad x = -1,\ y = 0$$Comprobación. Con $a = 1$ y $(1, 0)$: $1 + 0 = 1$ ✓, $1 + 0 = 1 = a$ ✓, $1 + 0 = 1$ ✓. Con $a = -1$ y $(-1, 0)$: $(-1)(-1) + 0 = 1$ ✓, $-1 + 0 = -1 = a$ ✓, $(-1)(-1) + 0 = 1$ ✓.