Matemáticas IIFácil2 pts

Matrices

También trata: Determinantes

Extremadura · 2021 · Julio

Enunciado

Sea la igualdad matricial

M \cdot X = N

, donde

M = \begin{pmatrix} k & 2k & 2 \\ -1 & k & 1 \\ -1 & 1 & 1 \end{pmatrix} \quad \text{y} \quad N = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}.

a) (0,5 puntos) ¿Cuántas filas y columnas debe tener la matriz

X

? (Justificar la respuesta).

b) (1 punto) ¿Para qué valores de

k \in \mathbb{R}

es la matriz

M

invertible?

c) (0,5 puntos) ¿Puede ser

M \cdot N

invertible para algún valor de

k \in \mathbb{R}

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\text{a) } X \text{ es de orden } 3 \times 2 \text{ (3 filas y 2 columnas)}}

\boxed{\text{b) } |M| = (k-1)(k+2):\ M \text{ invertible} \iff k \neq 1 \text{ y } k \neq -2}

\boxed{\text{c) No: } M \cdot N \text{ es } 3 \times 2,\ \text{no es cuadrada}}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Los apartados a) y c) son de dimensiones: el producto

A \cdot B

solo existe si el número de columnas de

A

coincide con el de filas de

B

, y el resultado tiene las filas de

A

y las columnas de

B

. Con eso se deduce el tamaño de

X

y se ve que

M \cdot N

no es cuadrada.

En b) se usa que una matriz cuadrada es invertible si y solo si su determinante no es nulo: calculamos

|M|

por Sarrus, lo igualamos a cero y excluimos esas raíces.

Desarrollo

M

es de orden

3 \times 3

N

de orden

3 \times 2

. Si

X

es de orden

p \times q

Para que exista $M \cdot X$ , el número de columnas de $M$ (3) debe ser igual al de filas de $X$ : $p = 3$ .
El producto $M \cdot X$ es entonces de orden $3 \times q$ , y debe coincidir con el de $N$ , $3 \times 2$ : $q = 2$ .

M_{3\times 3} \cdot X_{p\times q} = N_{3\times 2} \;\Longrightarrow\; p = 3,\ q = 2

Así que

X

debe tener 3 filas y 2 columnas.

b)

M

es cuadrada; es invertible si y solo si

|M| \neq 0

. Por Sarrus:

|M| = \begin{vmatrix} k & 2k & 2 \\ -1 & k & 1 \\ -1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = k\cdot k\cdot 1 + 2k\cdot 1\cdot(-1) + 2\cdot(-1)\cdot 1 - \bigl[2\cdot k\cdot(-1) + k\cdot 1\cdot 1 + 2k\cdot(-1)\cdot 1\bigr]

|M| = k^2 - 2k - 2 - (-2k + k - 2k) = k^2 - 2k - 2 + 3k = k^2 + k - 2

Igualamos a cero:

k^2 + k - 2 = 0 \;\Longrightarrow\; k = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2} = \frac{-1 \pm 3}{2} \;\Longrightarrow\; k = 1 \ \text{o}\ k = -2

es decir,

|M| = (k - 1)(k + 2)

. Por tanto,

M

es invertible para todo

k \neq 1

k \neq -2

.

Comprobación. Con

k = 1

la matriz es

\begin{pmatrix} 1 & 2 & 2 \\ -1 & 1 & 1 \\ -1 & 1 & 1 \end{pmatrix}

, que tiene dos filas iguales: su determinante es

0

, como debe ser.

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

M \cdot N

es el producto de una matriz

3 \times 3

por una

3 \times 2

, así que existe y es de orden

3 \times 2

. Solo las matrices cuadradas pueden tener inversa (y determinante), y

M \cdot N

no lo es sea cual sea

k

.

Por tanto, no:

M \cdot N

no es invertible para ningún valor de

k

Consejo

En c) no hace falta ninguna cuenta: antes de calcular un determinante, mira el tamaño. Una matriz que no es cuadrada no tiene ni determinante ni inversa, y eso ya es la justificación.

En b) conviene escribir el determinante factorizado, $(k-1)(k+2)$ , y dar la respuesta como « $k \neq 1$ y $k \neq -2$ », no solo los valores que lo anulan.