Distribución normal

Sea $X$ = «tiempo, en minutos, en obtener la respuesta del test», con $X \sim N(\mu = 20;\ \sigma = 4)$, y $Z \sim N(0, 1)$.

a) Tipificamos los extremos:$$z_1 = \frac{16 - 20}{4} = -1, \qquad z_2 = \frac{26 - 20}{4} = 1{,}5$$$$P(16 \le X \le 26) = P(-1 \le Z \le 1{,}5) = P(Z \le 1{,}5) - P(Z < -1)$$Por la simetría de la normal, $P(Z < -1) = 1 - P(Z \le 1)$. De la tabla, $P(Z \le 1{,}5) = 0{,}9332$ y $P(Z \le 1) = 0{,}8413$:$$P(16 \le X \le 26) = 0{,}9332 - (1 - 0{,}8413) = 0{,}9332 - 0{,}1587 = 0{,}7745$$Es decir, en el $77{,}45\ \%$ de los test el resultado se obtiene entre 16 y 26 minutos.

b) Buscamos el tiempo $k$ tal que el $96{,}41\ \%$ de los test ya tengan respuesta:$$P(X \le k) = 0{,}9641 \;\Longrightarrow\; P\!\left(Z \le \frac{k - 20}{4}\right) = 0{,}9641$$En el interior de la tabla, $0{,}9641$ aparece exactamente en $z = 1{,}80$. Por tanto,$$\frac{k - 20}{4} = 1{,}8 \;\Longrightarrow\; k = 20 + 4 \cdot 1{,}8 = 27{,}2\ \text{minutos}$$Comprobación de sentido. En a) el intervalo va de una desviación típica por debajo de la media a 1,5 por encima, y deja dentro algo más de las tres cuartas partes: razonable. En b) el $96\ \%$ está muy a la derecha, a casi dos desviaciones típicas de la media: $27{,}2$ minutos encaja.