Matemáticas IIFácil2 pts

Probabilidad

Castilla y León · 2021 · Junio

Enunciado

En un club deportivo, el 55% de los socios son hombres y el 45 % mujeres. Entre los socios, el 60% de los hombres practica la natación, así como el 40% de las mujeres.

a) (1,25 puntos) Describir los sucesos y sus probabilidades, y calcular la probabilidad de que un socio elegido al azar practique la natación.

b) (0,75 puntos) Sabiendo que una persona practica la natación, ¿cuál es la probabilidad de que sea una mujer?

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Resultado

\boxed{\text{a)}\ P(N) = 0{,}55 \cdot 0{,}60 + 0{,}45 \cdot 0{,}40 = 0{,}51}

\boxed{\text{b)}\ P(M \mid N) = \frac{0{,}18}{0{,}51} = \frac{6}{17} \approx 0{,}3529}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

El experimento tiene dos etapas: primero el sexo del socio y después si nada o no. Los porcentajes de natación son probabilidades condicionadas al sexo. Con un diagrama de árbol, la probabilidad de nadar sale del teorema de la probabilidad total (sumando las ramas que acaban en «nada»), y la pregunta de b), que invierte la condición, se resuelve con el teorema de Bayes.

Desarrollo

a) Elegimos un socio al azar y definimos los sucesos:

$H$ = «el socio es hombre», $M$ = «el socio es mujer» ( $M = \overline{H}$ ).
$N$ = «el socio practica la natación».

Sus probabilidades, según el enunciado:

P(H) = 0{,}55, \qquad P(M) = 0{,}45

P(N \mid H) = 0{,}60, \qquad P(\overline N \mid H) = 0{,}40, \qquad P(N \mid M) = 0{,}40, \qquad P(\overline N \mid M) = 0{,}60

En forma de árbol:

Primera etapa	Segunda etapa	Probabilidad de la rama
$H$ ( $0{,}55$ )	$N$ ( $0{,}60$ )	$0{,}55 \cdot 0{,}60 = 0{,}33$
$H$ ( $0{,}55$ )	$\overline N$ ( $0{,}40$ )	$0{,}55 \cdot 0{,}40 = 0{,}22$
$M$ ( $0{,}45$ )	$N$ ( $0{,}40$ )	$0{,}45 \cdot 0{,}40 = 0{,}18$
$M$ ( $0{,}45$ )	$\overline N$ ( $0{,}60$ )	$0{,}45 \cdot 0{,}60 = 0{,}27$

Como

H

M

forman un sistema completo de sucesos, por el teorema de la probabilidad total:

P(N) = P(H)\,P(N \mid H) + P(M)\,P(N \mid M) = 0{,}55 \cdot 0{,}60 + 0{,}45 \cdot 0{,}40 = 0{,}33 + 0{,}18 = 0{,}51

b) Nos piden

P(M \mid N)

. Por el teorema de Bayes:

P(M \mid N) = \frac{P(M)\,P(N \mid M)}{P(N)} = \frac{0{,}45 \cdot 0{,}40}{0{,}51} = \frac{0{,}18}{0{,}51} = \frac{6}{17} \approx 0{,}3529

Comprobación. Las cuatro ramas suman

0{,}33 + 0{,}22 + 0{,}18 + 0{,}27 = 1

✓. Y

P(H \mid N) = \frac{0{,}33}{0{,}51} = \frac{11}{17}

, que con

\frac{6}{17}

suma

1

✓. Es lógico que

P(M \mid N) < P(M)

: las mujeres nadan menos que los hombres, así que entre los nadadores hay proporcionalmente menos mujeres.

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

El apartado a) pide expresamente describir los sucesos: define $H$ , $M$ y $N$ con palabras y escribe las condicionadas como $P(N \mid H)$ , no como « $P(N) = 0{,}6$ ». Ese 60 % es de los hombres, no de todos los socios.

En Bayes, el denominador es la probabilidad total de a): reutilízala. Fíjate en el orden de la condición: «sabiendo que nada» va detrás de la barra, $P(M \mid N)$ .