Hallar los valores de a, b y c para los cuales el polinomio P(x) = ax^2 + bx + c cumple las siguientes condiciones: - P(0) = 1 - La pendiente de la recta tangente a la gráfica de P(x) en x = 0 es m = 1. - \displaystyle\int_0^2 P(x)\,dx = 12.

Matemáticas IIFácil2 pts

Integrales

Castilla y León · 2021 · Junio

Enunciado

Hallar los valores de

a

b

c

para los cuales el polinomio

P(x) = ax^2 + bx + c

cumple las siguientes condiciones:

$P(0) = 1$
La pendiente de la recta tangente a la gráfica de $P(x)$ en $x = 0$ es $m = 1$ .
$\displaystyle\int_0^2 P(x)\,dx = 12$ .

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Resultado

\boxed{a = 3,\quad b = 1,\quad c = 1 \qquad P(x) = 3x^2 + x + 1}

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Estrategia

Tres incógnitas y tres condiciones: cada condición se traduce en una ecuación. La primera es un valor de la función; la segunda, un valor de la derivada (la pendiente de la tangente en un punto es la derivada en ese punto); la tercera, una integral definida que calculamos con la regla de Barrow. Las dos primeras dan directamente

c

b

, y la tercera,

a

Desarrollo

Primera condición.

P(0) = a\cdot 0 + b\cdot 0 + c = c = 1 \;\Longrightarrow\; c = 1

Segunda condición. La pendiente de la recta tangente en

x = 0

P'(0)

. Como

P'(x) = 2ax + b

P'(0) = b = 1 \;\Longrightarrow\; b = 1

Tercera condición. Con

b = c = 1

P(x) = ax^2 + x + 1

y, por la regla de Barrow,

\int_0^2 (ax^2 + x + 1)\,dx = \left[\frac{ax^3}{3} + \frac{x^2}{2} + x\right]_0^2 = \frac{8a}{3} + 2 + 2 = \frac{8a}{3} + 4

\frac{8a}{3} + 4 = 12 \;\Longrightarrow\; \frac{8a}{3} = 8 \;\Longrightarrow\; a = 3

Por tanto,

P(x) = 3x^2 + x + 1

.

Comprobación.

P(0) = 1

✓.

P'(x) = 6x + 1

, así que

P'(0) = 1

✓. Y

\int_0^2 (3x^2 + x + 1)\,dx = \Bigl[x^3 + \frac{x^2}{2} + x\Bigr]_0^2 = 8 + 2 + 2 = 12 \ \checkmark

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Consejo

«Pendiente de la recta tangente en $x_0$ » significa siempre $P'(x_0)$ . No confundas con el valor de la función: $P(0) = 1$ y $P'(0) = 1$ son dos condiciones distintas, aunque aquí den el mismo número.

En la integral, sustituye ya los valores de $b$ y $c$ que conoces: te queda una ecuación con una sola incógnita en vez de tener que resolver un sistema.