Matemáticas IIFácil2 pts

Integrales

Castilla y León · 2021 · Junio

Enunciado

a) (0,5 puntos) Dadas las funciones

f(x) = x^2

g(x) = -x^2 + 8

, hallar los valores de

x \in \mathbb{R}

para los que

g(x) \ge f(x)

.

b) (1,5 puntos) Calcular el área limitada por las gráficas de las funciones

f(x)

g(x)

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\text{a)}\ g(x) \ge f(x) \iff x \in [-2, 2]}

\boxed{\text{b)}\ \text{Área} = \int_{-2}^{2} (8 - 2x^2)\,dx = \frac{64}{3}\ \text{u}^2}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Son dos parábolas:

f

abierta hacia arriba con vértice en el origen y

g

abierta hacia abajo con vértice en

(0, 8)

. En a) resolvemos la inecuación

g(x) \ge f(x)

, que nos da a la vez los puntos de corte y en qué intervalo va

g

por encima.

En b) el recinto queda entre esos dos puntos de corte, con

g

encima, así que el área es la integral de

g - f

en ese intervalo, por la regla de Barrow.

Desarrollo

g(x) \ge f(x) \iff -x^2 + 8 \ge x^2 \iff 8 \ge 2x^2 \iff x^2 \le 4 \iff -2 \le x \le 2

Luego

g(x) \ge f(x)

exactamente para

x \in [-2, 2]

, con igualdad en

x = \pm 2

: las gráficas se cortan en

(-2, 4)

(2, 4)

.

b) Por a), el recinto limitado por las dos gráficas está entre

x = -2

x = 2

, con

g

por encima de

f

. Su área es

\text{Área} = \int_{-2}^{2} \bigl(g(x) - f(x)\bigr)\,dx = \int_{-2}^{2} (8 - 2x^2)\,dx

Una primitiva es

G(x) = 8x - \dfrac{2x^3}{3}

, y por la regla de Barrow:

\text{Área} = \left[8x - \frac{2x^3}{3}\right]_{-2}^{2} = \left(16 - \frac{16}{3}\right) - \left(-16 + \frac{16}{3}\right) = 32 - \frac{32}{3} = \frac{64}{3}\ \text{u}^2 \approx 21{,}33\ \text{u}^2

(Como

8 - 2x^2

es par, también vale

2\displaystyle\int_0^2 (8 - 2x^2)\,dx = 2\left(16 - \frac{16}{3}\right) = \frac{64}{3}

.)

Comprobación de sentido. El recinto cabe en el rectángulo

[-2, 2] \times [0, 8]

, de área

32

, y ocupa algo más de la mitad:

\frac{64}{3} \approx 21{,}3

es razonable.

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

El apartado a) te regala el planteamiento de b): te dice dónde se cortan las curvas y cuál va por encima. Úsalo y dilo, en vez de volver a empezar.

Integra siempre «la de arriba menos la de abajo». Si restas al revés te sale $-\frac{64}{3}$ , y un área negativa es señal segura de error. No olvides las unidades cuadradas.