Matemáticas IIMedio2 pts

Límites y continuidad

Castilla y León · 2021 · Junio

Enunciado

Calcular

\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{e^x - x - \cos(3x)}{\operatorname{sen}^2(x)}

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\lim_{x \to 0} \frac{e^x - x - \cos(3x)}{\operatorname{sen}^2(x)} = 5}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Al sustituir

x = 0

sale

\frac{1 - 0 - 1}{0} = \frac{0}{0}

, una indeterminación. Las funciones son derivables, así que aplicamos la regla de L'Hôpital: derivamos numerador y denominador por separado. Tras la primera derivada vuelve a salir

\frac{0}{0}

, y una segunda aplicación da ya un número.

Desarrollo

Al sustituir

x = 0

\frac{e^0 - 0 - \cos 0}{\operatorname{sen}^2 0} = \frac{1 - 0 - 1}{0} = \frac{0}{0}

Indeterminación. Numerador y denominador son derivables en un entorno de

0

y se anulan en

0

, así que podemos aplicar L'Hôpital. Las derivadas son

\bigl(e^x - x - \cos 3x\bigr)' = e^x - 1 + 3\operatorname{sen} 3x, \qquad \bigl(\operatorname{sen}^2 x\bigr)' = 2\operatorname{sen} x\cos x = \operatorname{sen} 2x

\lim_{x \to 0} \frac{e^x - x - \cos 3x}{\operatorname{sen}^2 x} = \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1 + 3\operatorname{sen} 3x}{\operatorname{sen} 2x}

Al sustituir de nuevo,

\frac{1 - 1 + 0}{0} = \frac{0}{0}

: seguimos indeterminados y volvemos a aplicar L'Hôpital, con

\bigl(e^x - 1 + 3\operatorname{sen} 3x\bigr)' = e^x + 9\cos 3x, \qquad \bigl(\operatorname{sen} 2x\bigr)' = 2\cos 2x

= \lim_{x \to 0} \frac{e^x + 9\cos 3x}{2\cos 2x} = \frac{1 + 9}{2} = \frac{10}{2} = 5

Comprobación con infinitésimos. Cerca de

0

e^x \approx 1 + x + \frac{x^2}{2}

\cos 3x \approx 1 - \frac{9x^2}{2}

, así que el numerador es

\approx \frac{x^2}{2} + \frac{9x^2}{2} = 5x^2

, mientras que

\operatorname{sen}^2 x \approx x^2

. El cociente tiende a

5

✓.

Consejo

Antes de cada L'Hôpital escribe la indeterminación que justifica usarlo ( $\frac{0}{0}$ o $\frac{\infty}{\infty}$ ): el corrector lo pide cada vez, no solo la primera.

Los fallos típicos están en las derivadas: $(\cos 3x)' = -3\operatorname{sen} 3x$ (por la regla de la cadena, con el signo menos que cambia el $-\cos$ en $+3\operatorname{sen}$ ) y $(\operatorname{sen}^2 x)' = 2\operatorname{sen} x\cos x$ . Pasarlo a $\operatorname{sen} 2x$ hace más cómoda la segunda derivada.