Matemáticas IIFácil2 pts

Derivadas y aplicaciones

Castilla y León · 2021 · Junio

Enunciado

Representar la función

f(x) = e^{(x^2)}

, determinando antes sus intervalos de crecimiento y decrecimiento, sus extremos relativos, sus intervalos de concavidad y convexidad y sus asíntotas.

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\text{Decreciente en } (-\infty, 0),\ \text{creciente en } (0, +\infty);\ \text{mínimo relativo en } (0, 1)}

\boxed{f''(x) = (2 + 4x^2)e^{x^2} > 0:\ \text{convexa } (\cup) \text{ en } \mathbb{R},\ \text{sin inflexión};\ \text{sin asíntotas}}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Es un estudio completo de una función, con la ventaja de que

f

es muy sencilla: está definida y es continua en todo

\mathbb{R}

, es par (simétrica respecto del eje

OY

) y siempre positiva. La monotonía y los extremos salen del signo de

f'

; la curvatura, del signo de

f''

; las asíntotas, de los límites. Con todo eso se dibuja la gráfica.

Desarrollo

Dominio y simetría.

f(x) = e^{x^2}

está definida y es continua en todo

\mathbb{R}

, y

f(-x) = e^{(-x)^2} = f(x)

: es par, simétrica respecto del eje

OY

. Además

f(x) > 0

para todo

x

(no corta al eje

OX

) y corta al eje

OY

f(0) = e^0 = 1

, es decir, en

(0, 1)

.

Crecimiento y extremos. Por la regla de la cadena,

f'(x) = 2x\,e^{x^2}

Como

e^{x^2} > 0

siempre, el signo de

f'

es el de

2x

En $(-\infty, 0)$ : $f'(x) < 0$ , así que $f$ es decreciente.
En $(0, +\infty)$ : $f'(x) > 0$ , así que $f$ es creciente.

f'(x) = 0

solo en

x = 0

, y ahí

f'

pasa de negativa a positiva: hay un mínimo relativo (que es también absoluto) en

(0, 1)

. No hay máximos relativos.

Curvatura. Derivando

f'(x) = 2x\,e^{x^2}

como un producto:

f''(x) = 2e^{x^2} + 2x\cdot 2x\,e^{x^2} = (2 + 4x^2)\,e^{x^2}

Como

2 + 4x^2 > 0

e^{x^2} > 0

, resulta

f''(x) > 0

para todo

x \in \mathbb{R}

f

es convexa (

\cup

) en todo

\mathbb{R}

y no tiene puntos de inflexión. (Con el otro convenio, que también se usa, se diría «cóncava hacia arriba».)

Asíntotas.

Verticales: no tiene, porque $f$ es continua en todo $\mathbb{R}$ .
Horizontales: $\displaystyle\lim_{x \to \pm\infty} e^{x^2} = +\infty$ , así que no hay.
Oblicuas: $\displaystyle m = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{e^{x^2}}{x} = \pm\infty$ (la exponencial crece mucho más deprisa que $x$ ; se ve también por L'Hôpital: $\lim \frac{2x\,e^{x^2}}{1}$ ), luego tampoco hay.

f

no tiene asíntotas.

Representación. Con algunos valores,

f(\pm 1) = e \approx 2{,}72

f(\pm 1{,}5) = e^{2{,}25} \approx 9{,}49

, la gráfica es una curva en forma de

\cup

, simétrica respecto del eje

OY

, con el mínimo en

(0, 1)

, que baja hasta él desde la izquierda y sube desde él hacia la derecha cada vez más deprisa, sin acercarse a ninguna recta. Es como la campana de Gauss

e^{-x^2}

pero «al revés» y sin cota superior.

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Saca factor común la exponencial y recuerda que $e^{\text{algo}} > 0$ siempre: el signo de $f'$ y de $f''$ lo decide solo el otro factor, y te ahorras tablas largas.

Antes de dibujar, mira si la función es par: aquí te dice que basta estudiar $x \ge 0$ y reflejar. Y deja escrito qué convenio usas para «cóncava» y «convexa», que no es universal.