Matemáticas IIFácil2 pts

Rectas y planos

Castilla y León · 2021 · Junio

Enunciado

Dados la recta

r \equiv \dfrac{x+1}{-1} = \dfrac{y-2}{1} = \dfrac{z}{-2}

y el punto

P = (0, 0, 0)

, hallar la ecuación del plano

\pi

que contiene a

r

y pasa por el punto

P

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\pi \equiv 4x + 2y - z = 0}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Un plano queda determinado por un punto y dos vectores directores no paralelos. De la recta sacamos un punto

A

y su vector director

\vec u

; el segundo vector es

\overrightarrow{AP}

, que va de la recta al punto

P

. El vector normal del plano es el producto vectorial de los dos, y con él y un punto escribimos la ecuación general.

Antes conviene comprobar que

P

no está en

r

: si estuviera, habría infinitos planos.

Desarrollo

De la ecuación continua de

r

leemos un punto y un vector director:

A = (-1, 2, 0), \qquad \vec u = (-1, 1, -2)

$P$ no está en $r$ . Al sustituir

P = (0, 0, 0)

\dfrac{0 + 1}{-1} = -1

\dfrac{0 - 2}{1} = -2

, que no son iguales. Así que hay un único plano que contiene a

r

y a

P

.

El segundo vector director es

\overrightarrow{AP} = (0 - (-1),\ 0 - 2,\ 0 - 0) = (1, -2, 0)

y el vector normal del plano, su producto vectorial con

\vec u

\vec n = \vec u \times \overrightarrow{AP} = \begin{vmatrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ -1 & 1 & -2 \\ 1 & -2 & 0 \end{vmatrix} = (0 - 4)\,\vec i - (0 + 2)\,\vec j + (2 - 1)\,\vec k = (-4, -2, 1)

El plano tiene la forma

-4x - 2y + z + D = 0

y pasa por

P = (0, 0, 0)

, así que

D = 0

. Multiplicando por

-1

\pi \equiv 4x + 2y - z = 0

(Lo mismo sale con el determinante

\begin{vmatrix} x & y & z \\ -1 & 1 & -2 \\ 1 & -2 & 0 \end{vmatrix} = 0

, usando el punto

P

.)

Comprobación.

$P$ : $0 + 0 - 0 = 0$ ✓.
$A = (-1, 2, 0)$ : $-4 + 4 - 0 = 0$ ✓.
$\vec u \cdot \vec n_\pi = (-1)\cdot 4 + 1\cdot 2 + (-2)\cdot(-1) = -4 + 2 + 2 = 0$ ✓: la dirección de $r$ es paralela al plano y, como $A \in \pi$ , toda la recta está contenida en él.

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Cuidado al leer la ecuación continua: el punto de $\frac{x+1}{-1}$ es $x = -1$ , no $x = 1$ ; el signo cambia. Y el denominador negativo forma parte del vector director.

Comprueba al final que el plano contiene a la recta: un punto de $r$ en el plano y $\vec u \cdot \vec n = 0$ . Si solo compruebas el punto, no basta.