Áreas, volúmenes y distancias

a) El vector normal de $\pi \equiv x + y + z = 1$ es $\vec n_\pi = (1, 1, 1)$. La recta perpendicular a $\pi$ lleva esa dirección, $\vec u = (1, 1, 1)$, y pasa por $A = (0, 0, 0)$:$$r \equiv \left\{\begin{array}{l} x = t \\ y = t \\ z = t \end{array}\right. \quad t \in \mathbb{R} \qquad\Longleftrightarrow\qquad r \equiv \frac{x}{1} = \frac{y}{1} = \frac{z}{1}$$o, en forma implícita, $r \equiv \left\{\begin{array}{l} x - y = 0 \\ y - z = 0 \end{array}\right.$

b) El plano buscado, $\sigma$, es perpendicular al segmento $PQ$, así que su vector normal es$$\overrightarrow{PQ} = (1 - 1,\ 3 - 1,\ -1 - 1) = (0, 2, -2) \parallel (0, 1, -1)$$y pasa por el punto medio de $P$ y $Q$:$$M = \left(\frac{1 + 1}{2},\ \frac{1 + 3}{2},\ \frac{1 + (-1)}{2}\right) = (1, 2, 0)$$Con normal $(0, 1, -1)$, el plano es $y - z + D = 0$, y al imponer que pase por $M$:$$2 - 0 + D = 0 \;\Longrightarrow\; D = -2 \;\Longrightarrow\; \sigma \equiv y - z - 2 = 0$$Comprobación. Los dos puntos están a la misma distancia de $\sigma$:$$d(P, \sigma) = \frac{|1 - 1 - 2|}{\sqrt{0^2 + 1^2 + (-1)^2}} = \frac{2}{\sqrt 2} = \sqrt 2, \qquad d(Q, \sigma) = \frac{|3 - (-1) - 2|}{\sqrt 2} = \frac{2}{\sqrt 2} = \sqrt 2$$y quedan a lados opuestos (al sustituir, $-2 < 0$ para $P$ y $2 > 0$ para $Q$), como debe ser para un plano de simetría.