Matemáticas IIFácil2 pts

Matrices

Castilla y León · 2021 · Junio

Enunciado

Sea la matriz

A = \begin{pmatrix} n-1 & 0 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}

a) (1 punto) Determinar los valores de

n

para los que la matriz

A^2

tiene inversa.

b) (1 punto) Para

n = 2

, hallar la matriz

X

que verifica la ecuación

AX + A = 2I

, siendo

I

la matriz identidad de orden 2.

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\text{a)}\ A^2 \text{ es invertible} \iff n \neq 1}

\boxed{\text{b)}\ X = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 & -3 \end{pmatrix}}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Una matriz cuadrada tiene inversa si y solo si su determinante no es cero. En a) no hace falta calcular

A^2

: basta con la propiedad

|A^2| = |A|^2

, que se anula exactamente cuando se anula

|A|

.

En b) despejamos

X

de la ecuación matricial pasando

A

al otro miembro y multiplicando por la izquierda por

A^{-1}

(el producto de matrices no es conmutativo, así que el lado importa).

Desarrollo

a) El determinante de

A

|A| = \begin{vmatrix} n-1 & 0 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} = -(n-1) - 0 = 1 - n

Por la propiedad del determinante de un producto,

|A^2| = |A|\cdot|A| = (1 - n)^2

. Entonces

A^2 \text{ tiene inversa} \iff |A^2| \neq 0 \iff (1 - n)^2 \neq 0 \iff n \neq 1

(Para

n = 1

A = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}

tiene una fila de ceros y

A^2 = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}

también: su determinante es

0

.)

b) Con

n = 2

A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}, \qquad |A| = -1 \neq 0

así que

A

es invertible. Despejamos:

AX + A = 2I \;\Longrightarrow\; AX = 2I - A \;\Longrightarrow\; X = A^{-1}(2I - A)

Inversa de

A

por la matriz adjunta:

A^{-1} = \dfrac{1}{|A|}\,(\operatorname{Adj} A)^t

, con

(\operatorname{Adj} A)^t = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} \;\Longrightarrow\; A^{-1} = \frac{1}{-1}\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}

Curiosamente,

A^{-1} = A

(se comprueba que

A^2 = I

). Además,

2I - A = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 3 \end{pmatrix}

X = A^{-1}(2I - A) = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 + 1 & 0 - 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 & -3 \end{pmatrix}

Comprobación.

AX + A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 & -3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} = 2I \ \checkmark

Consejo

Al despejar $X$ en $AX = B$ se multiplica por $A^{-1}$ por la izquierda: $X = A^{-1}B$ . Escribir $X = BA^{-1}$ es el error más repetido y da otra matriz, porque el producto de matrices no es conmutativo.

En a) te ahorras cuentas con $|A^n| = |A|^n$ : no calcules $A^2$ si solo te piden si es invertible.