Sistemas de ecuaciones

a) Matriz de coeficientes:$$A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 2 & 1 & -1 \\ 1 & 1 & \lambda \end{pmatrix}$$Como el sistema es homogéneo, la columna de términos independientes es nula y $\operatorname{rg}(A^*) = \operatorname{rg}(A)$ siempre: el sistema nunca es incompatible.

Desarrollamos $|A|$ por la primera fila:$$|A| = 1\cdot\begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 1 & \lambda \end{vmatrix} - (-1)\cdot\begin{vmatrix} 2 & -1 \\ 1 & \lambda \end{vmatrix} + 1\cdot\begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = (\lambda + 1) + (2\lambda + 1) + 1 = 3\lambda + 3$$$$|A| = 0 \iff 3\lambda + 3 = 0 \iff \lambda = -1$$Caso $\lambda \neq -1$. $|A| \neq 0$, luego $\operatorname{rg}(A) = \operatorname{rg}(A^*) = 3 =$ número de incógnitas: sistema compatible determinado. Su única solución es la trivial, $x = y = z = 0$.

Caso $\lambda = -1$. $|A| = 0$ y el menor$$\begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = 1 + 2 = 3 \neq 0$$(filas 1 y 2, columnas de $x$ e $y$) da $\operatorname{rg}(A) = 2 = \operatorname{rg}(A^*) < 3$: sistema compatible indeterminado, con infinitas soluciones que dependen de $3 - 2 = 1$ parámetro.

b) Con $\lambda = -1$ la tercera ecuación, $x + y - z = 0$, depende de las otras dos (rango 2), así que nos quedamos con las dos primeras, que contienen el menor no nulo:$$\left\{\begin{array}{l} x - y + z = 0 \\ 2x + y - z = 0 \end{array}\right.$$Sumándolas, $3x = 0$, es decir, $x = 0$. Entonces la primera da $-y + z = 0$, o sea $y = z$. Tomando $z = t$:$$x = 0, \qquad y = t, \qquad z = t, \qquad t \in \mathbb{R}$$Comprobación. Con $(0, t, t)$: primera, $0 - t + t = 0$ ✓; segunda, $0 + t - t = 0$ ✓; tercera, $0 + t - t = 0$ ✓.