Distribución normal

Sea $X$ = «coeficiente intelectual de un adulto español», $X \sim N(\mu = 100,\ \sigma = 20)$, y $Z \sim N(0, 1)$.

a) Tipificamos los extremos:$$z_1 = \frac{95 - 100}{20} = -0{,}25, \qquad z_2 = \frac{105 - 100}{20} = 0{,}25$$$$P(95 < X < 105) = P(-0{,}25 < Z < 0{,}25) = P(Z < 0{,}25) - P(Z < -0{,}25)$$Por la simetría de la normal, $P(Z < -0{,}25) = 1 - P(Z < 0{,}25)$, de modo que$$P(-0{,}25 < Z < 0{,}25) = 2\,P(Z < 0{,}25) - 1 = 2\cdot 0{,}5987 - 1 = 0{,}1974$$Se espera que un $19{,}74\ \%$ de los adultos tenga un coeficiente intelectual entre $95$ y $105$.

b) Tipificamos $160$:$$z = \frac{160 - 100}{20} = 3$$$$P(X > 160) = P(Z > 3) = 1 - P(Z \le 3) = 1 - 0{,}9987 = 0{,}0013$$Son superdotados un $0{,}13\ \%$ de los adultos españoles.

Comprobación de sentido. En a) el intervalo es muy estrecho (un cuarto de desviación típica a cada lado de la media), así que una probabilidad pequeña, en torno al $20\ \%$, es razonable. En b) $160$ está a tres desviaciones típicas por encima de la media: por la regla del $99{,}7\ \%$, más allá de $\pm 3\sigma$ queda un $0{,}3\ \%$, la mitad por cada lado, unos $0{,}13$-$0{,}15\ \%$ ✓.