Dentro de una caja hay bolas de varios colores que tienen todas el mismo tamaño y aspecto, siendo algunas de madera y las otras de metacrilato. Concretamente: - El 48\ \% son blancas y entre ellas dos tercios son de madera. - El 24\ \% son rojas, y de ellas las tres cuartas partes son de madera. - El 28\ \% son verdes, de las cuales la mitad son de madera. Considerando los sucesos: B = «ser blanca», R = «ser roja», V = «ser verde» y M = «ser de madera» a) (0,3 puntos) Indicar cuáles son los valores de P(M/B), P(M/R) y P(M/V). b) (0,7 puntos) Calcular la probabilidad de que al sacar al azar una de las bolas de la caja, sea de madera. c) (1 punto) Si solo sabemos que una de las bolas de la caja, elegida al azar, es de madera, ¿cuál es la probabilidad de que sea blanca?

Matemáticas IIFácil2 pts

Probabilidad

Castilla y León · 2021 · Julio

Enunciado

Dentro de una caja hay bolas de varios colores que tienen todas el mismo tamaño y aspecto, siendo algunas de madera y las otras de metacrilato. Concretamente:

El $48\ \%$ son blancas y entre ellas dos tercios son de madera.
El $24\ \%$ son rojas, y de ellas las tres cuartas partes son de madera.
El $28\ \%$ son verdes, de las cuales la mitad son de madera.

Considerando los sucesos:

B

= «ser blanca»,

R

= «ser roja»,

V

= «ser verde» y

M

= «ser de madera»

a) (0,3 puntos) Indicar cuáles son los valores de

P(M/B)

P(M/R)

P(M/V)

.

b) (0,7 puntos) Calcular la probabilidad de que al sacar al azar una de las bolas de la caja, sea de madera.

c) (1 punto) Si solo sabemos que una de las bolas de la caja, elegida al azar, es de madera, ¿cuál es la probabilidad de que sea blanca?

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Resultado

\boxed{\text{a) } P(M/B) = \tfrac{2}{3},\quad P(M/R) = \tfrac{3}{4},\quad P(M/V) = \tfrac{1}{2}}

\boxed{\text{b) } P(M) = 0{,}64 \qquad \text{c) } P(B/M) = 0{,}5}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Los colores

B

R

V

forman un sistema completo de sucesos (toda bola es de un color y solo de uno:

48 + 24 + 28 = 100\ \%

). Las fracciones de madera de cada color son probabilidades condicionadas, que se leen directamente del enunciado. Con un diagrama de árbol, b) es el teorema de la probabilidad total y c), el teorema de Bayes.

Desarrollo

a) «Entre las blancas, dos tercios son de madera» es la probabilidad de ser de madera sabiendo que es blanca, y lo mismo con los otros colores:

P(M/B) = \frac{2}{3}, \qquad P(M/R) = \frac{3}{4}, \qquad P(M/V) = \frac{1}{2}

Además,

P(B) = 0{,}48

P(R) = 0{,}24

P(V) = 0{,}28

.

b) Diagrama de árbol: primero el color y después el material.

$B$ $(0{,}48)$ → $M$ $(2/3)$ : $\quad P(B \cap M) = 0{,}48\cdot\dfrac{2}{3} = 0{,}32$
$R$ $(0{,}24)$ → $M$ $(3/4)$ : $\quad P(R \cap M) = 0{,}24\cdot\dfrac{3}{4} = 0{,}18$
$V$ $(0{,}28)$ → $M$ $(1/2)$ : $\quad P(V \cap M) = 0{,}28\cdot\dfrac{1}{2} = 0{,}14$

Por el teorema de la probabilidad total:

P(M) = P(B)\,P(M/B) + P(R)\,P(M/R) + P(V)\,P(M/V) = 0{,}32 + 0{,}18 + 0{,}14 = 0{,}64

c) Por el teorema de Bayes:

P(B/M) = \frac{P(B \cap M)}{P(M)} = \frac{P(B)\,P(M/B)}{P(M)} = \frac{0{,}32}{0{,}64} = \frac{1}{2} = 0{,}5

Comprobación. Las tres probabilidades «a posteriori» deben sumar

1

P(B/M) = \frac{0{,}32}{0{,}64} = 0{,}5

P(R/M) = \frac{0{,}18}{0{,}64} = 0{,}28125

P(V/M) = \frac{0{,}14}{0{,}64} = 0{,}21875

;

0{,}5 + 0{,}28125 + 0{,}21875 = 1

✓.

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Distingue bien $P(M/B)$ («de las blancas, cuántas son de madera») de $P(B/M)$ («de las de madera, cuántas son blancas»): la primera la da el enunciado, la segunda pide Bayes.

Nombra los teoremas que usas (probabilidad total, Bayes) y dibuja el árbol: la corrección valora el planteamiento tanto como el número final.