Límites y continuidad

a) Hipótesis. $f(x) = x - \cos x$ es diferencia de dos funciones continuas en $\mathbb{R}$, así que es continua en $[0, \pi/2]$.

Signos en los extremos.$$f(0) = 0 - \cos 0 = -1 < 0, \qquad f\!\left(\frac{\pi}{2}\right) = \frac{\pi}{2} - \cos\frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2} > 0$$Por el teorema de Bolzano, existe al menos un $c \in (0, \pi/2)$ con $f(c) = 0$, es decir, la ecuación $f(x) = 0$ tiene al menos una solución en el intervalo.

b) La función es derivable en $\mathbb{R}$ y$$f'(x) = 1 + \operatorname{sen} x$$En $[0, \pi/2]$ se cumple $\operatorname{sen} x \ge 0$, luego $f'(x) \ge 1 > 0$ en todo el intervalo. Por tanto $f$ es estrictamente creciente en $[0, \pi/2]$ y no puede tomar el valor $0$ en dos puntos distintos: si $a < b$, entonces $f(a) < f(b)$.

Otra forma (Rolle). Si hubiera dos soluciones $a < b$ en $[0, \pi/2]$, $f$ sería continua en $[a, b]$, derivable en $(a, b)$ y con $f(a) = f(b) = 0$; por el teorema de Rolle existiría $d \in (a, b)$ con $f'(d) = 0$, imposible porque $f' \ge 1$. Contradicción.

Así pues, la solución del apartado a) es la única del intervalo. (Numéricamente, $c \approx 0{,}739$.)