Matemáticas IIFácil2 pts

Límites y continuidad

También trata: Integrales

Castilla y León · 2021 · Julio

Enunciado

a) (1 punto) Estudiar la continuidad de la función definida por

f(x) = \left\{\begin{array}{ll} \dfrac{1 - \cos x}{x}, & \text{si } x \neq 0 \\ 0, & \text{si } x = 0 \end{array}\right.

b) (1 punto) Calcular

\displaystyle\int x\ln(x^2)\,dx

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\text{a) } f \text{ es continua en todo } \mathbb{R}}

\boxed{\text{b) } \int x\ln(x^2)\,dx = \frac{x^2}{2}\ln(x^2) - \frac{x^2}{2} + C}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

En a), fuera de

x = 0

la función es un cociente de funciones continuas con denominador no nulo, luego es continua. El único punto que hay que estudiar es

x = 0

: comprobamos que el límite existe y coincide con

f(0)

. El límite es una indeterminación

\frac{0}{0}

que resuelve L'Hôpital.

En b) el integrando es un producto de un polinomio y un logaritmo: la herramienta es la integración por partes, derivando el logaritmo.

Desarrollo

a) Si $x \neq 0$ .

f(x) = \dfrac{1 - \cos x}{x}

es cociente de dos funciones continuas y el denominador no se anula, así que

f

es continua en

\mathbb{R} \setminus \{0\}

.

En $x = 0$ .

f(0) = 0

está definida. Para el límite, al sustituir sale

\frac{1 - 1}{0} = \frac{0}{0}

; aplicamos L'Hôpital:

\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\operatorname{sen} x}{1} = \operatorname{sen} 0 = 0

El límite existe y vale

0 = f(0)

, luego

f

es continua en

x = 0

.

Por tanto,

f

es continua en todo $\mathbb{R}$ .

b) Integramos por partes,

\displaystyle\int u\,dv = uv - \int v\,du

, con

u = \ln(x^2) \;\Rightarrow\; du = \frac{2x}{x^2}\,dx = \frac{2}{x}\,dx, \qquad dv = x\,dx \;\Rightarrow\; v = \frac{x^2}{2}

\int x\ln(x^2)\,dx = \frac{x^2}{2}\ln(x^2) - \int \frac{x^2}{2}\cdot\frac{2}{x}\,dx = \frac{x^2}{2}\ln(x^2) - \int x\,dx = \frac{x^2}{2}\ln(x^2) - \frac{x^2}{2} + C

(válida para

x \neq 0

, donde está definido

\ln(x^2)

).

Comprobación. Derivando la primitiva:

\left(\frac{x^2}{2}\ln(x^2) - \frac{x^2}{2}\right)' = x\ln(x^2) + \frac{x^2}{2}\cdot\frac{2}{x} - x = x\ln(x^2) + x - x = x\ln(x^2) \ ✓

Consejo

En a) la continuidad en $x = 0$ son tres cosas: que $f(0)$ exista, que el límite exista y que coincidan. Escríbelas las tres; y no te olvides de decir por qué es continua en $x \neq 0$ .

En b) también puedes escribir $\ln(x^2) = 2\ln|x|$ y la primitiva queda $x^2\ln|x| - \frac{x^2}{2} + C$ : es la misma. Y no te dejes la constante de integración.