Matemáticas IIFácil2 pts

Límites y continuidad

Castilla y León · 2021 · Julio

Enunciado

Calcular el valor de

m > 0

para el cual se verifica que

\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos(mx)}{x^2} = 2

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;m = 2\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Calculamos el límite en función de

m

y lo igualamos a

2

. Al sustituir

x = 0

sale la indeterminación

\frac{0}{0}

, que se resuelve con la regla de L'Hôpital (dos veces). Al final, la condición

m > 0

elige una de las dos soluciones de la ecuación.

Desarrollo

Al sustituir

x = 0

1 - \cos 0 = 0

0^2 = 0

, indeterminación

\frac{0}{0}

. Numerador y denominador son derivables, así que aplicamos L'Hôpital (la derivada de

\cos(mx)

-m\,\operatorname{sen}(mx)

por la regla de la cadena):

\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos(mx)}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{m\,\operatorname{sen}(mx)}{2x}

Sigue siendo

\frac{0}{0}

(porque

\operatorname{sen} 0 = 0

). Aplicamos L'Hôpital otra vez:

\lim_{x \to 0} \frac{m\,\operatorname{sen}(mx)}{2x} = \lim_{x \to 0} \frac{m^2\cos(mx)}{2} = \frac{m^2\cos 0}{2} = \frac{m^2}{2}

Imponemos que el límite valga

2

\frac{m^2}{2} = 2 \;\Longrightarrow\; m^2 = 4 \;\Longrightarrow\; m = 2 \ \text{o}\ m = -2

Como se pide

m > 0

, la solución es

m = 2

.

Comprobación. Con el infinitésimo equivalente

1 - \cos u \sim \dfrac{u^2}{2}

cuando

u \to 0

\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos(2x)}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{(2x)^2/2}{x^2} = \frac{4}{2} = 2 \ ✓

Consejo

Antes de cada L'Hôpital escribe la indeterminación que justifica aplicarlo ( $\frac{0}{0}$ o $\frac{\infty}{\infty}$ ): si lo aplicas sin ella, el corrector puede no darlo por bueno.

Ojo con la regla de la cadena: la derivada de $\cos(mx)$ es $-m\,\operatorname{sen}(mx)$ , no $-\operatorname{sen}(mx)$ . Olvidar esa $m$ cambia el resultado. Y descarta $m = -2$ diciendo por qué.