Matemáticas IIFácil2 pts

Derivadas y aplicaciones

Castilla y León · 2021 · Julio

Enunciado

Dada la función

f(x) = x^5 - 5x - 1

, determínense sus intervalos de crecimiento y decrecimiento, sus extremos relativos, sus intervalos de concavidad y convexidad y sus puntos de inflexión.

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\text{Crece en } (-\infty, -1)\cup(1, +\infty);\ \text{decrece en } (-1, 1)}

\boxed{\text{Máximo relativo } (-1, 3);\ \text{mínimo relativo } (1, -5)}

\boxed{\cap \text{ en } (-\infty, 0);\ \cup \text{ en } (0, +\infty);\ \text{inflexión en } (0, -1)}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Es un polinomio, así que es continuo y derivable en todo

\mathbb{R}

. La monotonía y los extremos salen del signo de

f'

: hallamos sus ceros y estudiamos el signo en cada intervalo. La curvatura y los puntos de inflexión salen del signo de

f''

, del mismo modo.

Desarrollo

Monotonía y extremos. Derivamos y factorizamos:

f'(x) = 5x^4 - 5 = 5(x^4 - 1) = 5(x^2 - 1)(x^2 + 1) = 5(x - 1)(x + 1)(x^2 + 1)

Como

x^2 + 1 > 0

siempre,

f'(x) = 0 \iff x = -1

x = 1

. El signo de

f'

es el de

(x - 1)(x + 1)

	$(-\infty, -1)$	$(-1, 1)$	$(1, +\infty)$
Signo de $f'$	$+$ (p. ej. $f'(-2) = 75$ )	$-$ (p. ej. $f'(0) = -5$ )	$+$ (p. ej. $f'(2) = 75$ )
$f$	crece	decrece	crece

$f$ es creciente en $(-\infty, -1) \cup (1, +\infty)$ y decreciente en $(-1, 1)$ .
En $x = -1$ pasa de crecer a decrecer: máximo relativo, con $f(-1) = -1 + 5 - 1 = 3$ .
En $x = 1$ pasa de decrecer a crecer: mínimo relativo, con $f(1) = 1 - 5 - 1 = -5$ .

Curvatura y puntos de inflexión.

f''(x) = 20x^3, \qquad f''(x) = 0 \iff x = 0

	$(-\infty, 0)$	$(0, +\infty)$
Signo de $f''$	$-$	$+$
$f$	cóncava ( $\cap$ )	convexa ( $\cup$ )

$f$ es cóncava (hacia abajo, $\cap$ ) en $(-\infty, 0)$ y convexa (hacia arriba, $\cup$ ) en $(0, +\infty)$ .
En $x = 0$ cambia la curvatura y $f$ es continua: punto de inflexión en $(0, f(0)) = (0, -1)$ .

Comprobación. Con la derivada segunda:

f''(-1) = -20 < 0

confirma el máximo y

f''(1) = 20 > 0

, el mínimo. Además,

f

es impar más la constante

-1

: su gráfica es simétrica respecto de

(0, -1)

, y en efecto el máximo

(-1, 3)

y el mínimo

(1, -5)

son simétricos respecto de ese punto.

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

«Cóncava» y «convexa» se usan al revés en distintos libros: escribe siempre también el dibujo ( $\cap$ o $\cup$ ) o «hacia arriba / hacia abajo», y así el corrector no tiene dudas.

No olvides dar los extremos como puntos (con su ordenada) y justificar el tipo con el cambio de signo de $f'$ o con el signo de $f''$ .