Matemáticas IIFácil2 pts

Rectas y planos

Castilla y León · 2021 · Julio
Enunciado
Dada la recta r≡x−1=y−2−1=z−12r \equiv x - 1 = \dfrac{y - 2}{-1} = \dfrac{z - 1}{2}

a) (0,5 puntos) Calcular el plano π1\pi_1 que pasa por A=(1,2,3)A = (1, 2, 3) y es perpendicular a la recta rr.

b) (1,5 puntos) Calcular el plano π2\pi_2 que pasa por B=(−1,1,−1)B = (-1, 1, -1) y contiene a la recta rr.
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Resultado
a) π1≡x−y+2z−5=0\boxed{\text{a) } \pi_1 \equiv x - y + 2z - 5 = 0}b) π2≡4x−2y−3z+3=0\boxed{\text{b) } \pi_2 \equiv 4x - 2y - 3z + 3 = 0}
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Estrategia

De la forma continua de rr leemos un punto PP y su vector director u⃗\vec u. Un plano perpendicular a rr tiene a u⃗\vec u como vector normal, así que en a) basta con imponer que pase por AA.

En b) el plano contiene a PP, a la dirección u⃗\vec u y a BB: sus vectores directores son u⃗\vec u y PB→\overrightarrow{PB}, y su normal, el producto vectorial de ambos.
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Desarrollo

La recta r≡x−11=y−2−1=z−12r \equiv \dfrac{x - 1}{1} = \dfrac{y - 2}{-1} = \dfrac{z - 1}{2} pasa por P=(1,2,1)P = (1, 2, 1) y tiene vector director u⃗=(1,−1,2)\vec u = (1, -1, 2).

a) Si π1⊥r\pi_1 \perp r, el vector director de la recta es normal al plano: n⃗1=u⃗=(1,−1,2)\vec n_1 = \vec u = (1, -1, 2). Entoncesπ1≡x−y+2z+D=0\pi_1 \equiv x - y + 2z + D = 0e imponemos que pase por A=(1,2,3)A = (1, 2, 3):1−2+6+D=0  ⟹  D=−5  ⟹  π1≡x−y+2z−5=01 - 2 + 6 + D = 0 \;\Longrightarrow\; D = -5 \;\Longrightarrow\; \pi_1 \equiv x - y + 2z - 5 = 0Comprobación: AA: 1−2+6−5=01 - 2 + 6 - 5 = 0 ✓.

b) Primero, B=(−1,1,−1)B = (-1, 1, -1) no está en rr: x−1=−2x - 1 = -2, pero y−2−1=1\dfrac{y - 2}{-1} = 1, que no coincide. Por tanto, hay un único plano que contiene a rr y a BB.

Sus vectores directores son u⃗=(1,−1,2)\vec u = (1, -1, 2) y PB→=B−P=(−2,−1,−2)\overrightarrow{PB} = B - P = (-2, -1, -2). El vector normal:n⃗2=u⃗×PB→=∣i⃗j⃗k⃗1−12−2−1−2∣=(2+2) i⃗−(−2+4) j⃗+(−1−2) k⃗=(4,−2,−3)\vec n_2 = \vec u \times \overrightarrow{PB} = \begin{vmatrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ 1 & -1 & 2 \\ -2 & -1 & -2 \end{vmatrix} = (2 + 2)\,\vec i - (-2 + 4)\,\vec j + (-1 - 2)\,\vec k = (4, -2, -3)El plano que pasa por P=(1,2,1)P = (1, 2, 1) con ese vector normal:4(x−1)−2(y−2)−3(z−1)=0  ⟹  4x−2y−3z+3=04(x - 1) - 2(y - 2) - 3(z - 1) = 0 \;\Longrightarrow\; 4x - 2y - 3z + 3 = 0Comprobación. P=(1,2,1)P = (1, 2, 1): 4−4−3+3=04 - 4 - 3 + 3 = 0 ✓. B=(−1,1,−1)B = (-1, 1, -1): −4−2+3+3=0-4 - 2 + 3 + 3 = 0 ✓. n⃗2⋅u⃗=4+2−6=0\vec n_2\cdot\vec u = 4 + 2 - 6 = 0 ✓, así que toda la recta rr está en π2\pi_2.
Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)
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Consejo

Que el plano sea perpendicular a la recta significa que el director de la recta es el normal del plano; que la contenga, que el director de la recta es perpendicular al normal. No los confundas.

Al terminar, sustituye los puntos en la ecuación del plano y haz el producto escalar n⃗⋅u⃗\vec n\cdot\vec u: dos comprobaciones de un segundo que detectan cualquier signo mal puesto.
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