Rectas y planos

a) Recta $r$. Escrita como $\dfrac{x}{1} = \dfrac{y + 1}{1} = \dfrac{z - 2}{2}$, pasa por $P_r = (0, -1, 2)$ y tiene vector director $\vec u = (1, 1, 2)$.

Recta $s$. Tomamos $x = t$: de la primera ecuación, $y = t + 3$; de la segunda, $z = 2t + 3$.$$s \equiv \left\{\begin{array}{l} x = t \\ y = 3 + t \\ z = 3 + 2t \end{array}\right. \qquad P_s = (0, 3, 3),\quad \vec v = (1, 1, 2)$$Los vectores directores son iguales, $\vec u = \vec v$: las rectas son paralelas o coincidentes. Para distinguirlo, miramos si $P_r = (0, -1, 2)$ está en $s$:$$x - y + 3 = 0 - (-1) + 3 = 4 \neq 0$$$P_r$ no cumple la primera ecuación de $s$, luego $P_r \notin s$. Las rectas son paralelas (distintas).

(Con rangos: $\operatorname{rg}(\vec u, \vec v) = 1$ y $\operatorname{rg}(\vec u, \overrightarrow{P_rP_s}) = 2$, porque $\overrightarrow{P_rP_s} = (0, 4, 1)$ no es proporcional a $(1, 1, 2)$.)

b) El plano contiene a $P_r$ y tiene como vectores directores $\vec u = (1, 1, 2)$ y $\overrightarrow{P_rP_s} = (0, 4, 1)$. Su vector normal es$$\vec n = \vec u \times \overrightarrow{P_rP_s} = \begin{vmatrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ 1 & 1 & 2 \\ 0 & 4 & 1 \end{vmatrix} = (1 - 8)\,\vec i - (1 - 0)\,\vec j + (4 - 0)\,\vec k = (-7, -1, 4)$$Tomamos $\vec n = (7, 1, -4)$ (el opuesto, para que el primer coeficiente sea positivo). El plano que pasa por $P_r = (0, -1, 2)$:$$7(x - 0) + 1\,(y + 1) - 4(z - 2) = 0 \;\Longrightarrow\; 7x + y - 4z + 9 = 0$$Comprobación. $P_r = (0, -1, 2)$: $0 - 1 - 8 + 9 = 0$ ✓. $P_s = (0, 3, 3)$: $0 + 3 - 12 + 9 = 0$ ✓. Y $\vec n\cdot\vec u = 7 + 1 - 8 = 0$ ✓, así que las dos rectas enteras están en el plano.