Dadas las matrices M = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} y N = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}, hallar la matriz P que verifica que M^{-1}PM = N.

Matemáticas IIFácil2 pts

Matrices

Castilla y León · 2021 · Julio

Enunciado

Dadas las matrices

M = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}

N = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}

, hallar la matriz

P

que verifica que

M^{-1}PM = N

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Resultado

\boxed{\;P = MNM^{-1} = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 3 & -1 \end{pmatrix}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Es una ecuación matricial: despejamos

P

multiplicando por

M

a la izquierda y por

M^{-1}

a la derecha, respetando el orden porque el producto de matrices no es conmutativo. Queda

P = MNM^{-1}

. Solo hace falta calcular

M^{-1}

(que existe porque

|M| \neq 0

) y dos productos.

Desarrollo

Despeje. Multiplicamos los dos miembros de

M^{-1}PM = N

por

M

a la izquierda y por

M^{-1}

a la derecha:

M\,(M^{-1}PM)\,M^{-1} = MNM^{-1} \;\Longrightarrow\; (MM^{-1})\,P\,(MM^{-1}) = MNM^{-1} \;\Longrightarrow\; P = MNM^{-1}

Inversa de $M$ . Su determinante es

|M| = 0\cdot 1 - 1\cdot(-1) = 1 \neq 0

así que

M

es regular. Para una matriz

2\times 2

\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}^{-1} = \dfrac{1}{ad - bc}\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}

(adjunta traspuesta dividida entre el determinante):

M^{-1} = \frac{1}{1}\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}

Comprobación:

MM^{-1} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}

✓.

Productos.

MN = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}

P = (MN)\,M^{-1} = \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 + 2 & 0 + 0 \\ 1 + 2 & -1 + 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 3 & -1 \end{pmatrix}

Comprobación.

PM = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 3 & -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}

M^{-1}(PM) = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} = N \ ✓

En la simulación, la ecuación es

AXB = C

con

A = M^{-1}

B = M

C = N

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

El error típico es despejar $P = M^{-1}NM$ o $P = NMM^{-1}$ : la matriz que multiplica por la izquierda se quita multiplicando por la izquierda, y la de la derecha, por la derecha.

Escribe el despeje paso a paso, justifica que $M$ es invertible con su determinante y comprueba el resultado sustituyéndolo en la ecuación: con matrices $2\times 2$ cuesta un minuto.