Sistemas de ecuaciones

a) Matriz de coeficientes y matriz ampliada:$$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & -\lambda & 0 \\ 2 & 0 & \lambda \end{pmatrix}, \qquad A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & -\lambda & 0 & 1 \\ 2 & 0 & \lambda & 1 \end{array}\right)$$Desarrollando por la primera fila:$$|A| = 1\cdot(-\lambda^2 - 0) - 1\cdot(\lambda - 0) + 1\cdot(0 + 2\lambda) = -\lambda^2 + \lambda = \lambda(1 - \lambda)$$$$|A| = 0 \iff \lambda = 0 \ \text{o}\ \lambda = 1$$Caso $\lambda \neq 0$ y $\lambda \neq 1$. $|A| \neq 0$, luego $\operatorname{rg}(A) = 3 = \operatorname{rg}(A^*) =$ número de incógnitas: sistema compatible determinado (solución única).

Caso $\lambda = 0$. El menor $\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = -1 \neq 0$ y $|A| = 0$, así que $\operatorname{rg}(A) = 2$. Orlamos ese menor con la tercera fila y la columna de términos independientes:$$\begin{vmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 2 & 0 & 1 \end{vmatrix} = 1\cdot(0 - 0) - 1\cdot(1 - 2) + 0 = 1 \neq 0$$luego $\operatorname{rg}(A^*) = 3 \neq \operatorname{rg}(A) = 2$: sistema incompatible. Se ve también a mano: con $\lambda = 0$ la segunda ecuación da $x = 1$ y la tercera, $2x = 1$, es decir, $x = \frac{1}{2}$. Contradicción.

Caso $\lambda = 1$. El sistema queda$$\left\{\begin{array}{l} x + y + z = 0 \\ x - y = 1 \\ 2x + z = 1 \end{array}\right.$$$\operatorname{rg}(A) = 2$, porque $|A| = 0$ y $\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} = -2 \neq 0$. Orlando ese menor con la tercera fila y la columna de términos independientes:$$\begin{vmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 1 \\ 2 & 0 & 1 \end{vmatrix} = 1\cdot(-1 - 0) - 1\cdot(1 - 2) + 0 = -1 + 1 = 0$$y el otro menor de orden 3 que lo contiene es $|A| = 0$. Por tanto $\operatorname{rg}(A^*) = 2 = \operatorname{rg}(A) < 3$: sistema compatible indeterminado (infinitas soluciones con un parámetro). De hecho, la tercera ecuación es la suma de las dos primeras.

b) Con $\lambda = 1$ nos quedamos con las dos primeras ecuaciones (la tercera es su suma). Tomamos $y = t$ como parámetro:$$x - y = 1 \;\Longrightarrow\; x = 1 + t, \qquad x + y + z = 0 \;\Longrightarrow\; z = -x - y = -1 - 2t$$Comprobación. Primera: $(1 + t) + t + (-1 - 2t) = 0$ ✓; segunda: $(1 + t) - t = 1$ ✓; tercera: $2(1 + t) + (-1 - 2t) = 1$ ✓.