Matemáticas IIFácilProblema · 2,5 pts

Probabilidad

Castilla-La Mancha · 2021 · Junio

Enunciado

a) Se sabe que el 20 % de los usuarios de una red social nunca comparte fotografías, mientras que el otro 80 % sí que lo hace. Además, de los usuarios que no comparten fotografías, el 50 % ha comentado alguna vez una fotografía de alguno de sus contactos. De los usuarios que comparten fotografías, se sabe que el 90 % ha comentado alguna vez una fotografía de sus contactos. Elegimos un usuario de esta red social al azar.

a.1) (0,5 puntos) ¿Qué probabilidad hay de que haya comentado alguna vez una fotografía de alguno de sus contactos?

a.2) (0,75 puntos) Si se sabe que nunca ha comentado una fotografía de alguno de sus contactos, ¿cuál es la probabilidad de que comparta fotos?

b) Un algoritmo de reconocimiento facial es capaz de identificar de manera correcta al 80 % de las personas a partir de sus fotografías. Se procesan las fotografías de 4 personas con este algoritmo.

b.1) (0,5 puntos) ¿Qué probabilidad hay de que identifique correctamente a las 4 personas de las fotografías?

b.2) (0,75 puntos) ¿Cuál es la probabilidad de que identifique correctamente al menos a una persona?

(Se adjunta la tabla de la distribución binomial para

n = 4

$k \backslash p$	0,1	0,2	0,3	0,4	0,5	0,6	0,7	0,8	0,9
0	0,6561	0,4096	0,2401	0,1296	0,0625	0,0256	0,0081	0,0016	0,0001
1	0,2916	0,4096	0,4116	0,3456	0,2500	0,1536	0,0756	0,0256	0,0036
2	0,0486	0,1536	0,2646	0,3456	0,3750	0,3456	0,2646	0,1536	0,0486
3	0,0036	0,0256	0,0756	0,1536	0,2500	0,3456	0,4116	0,4096	0,2916
4	0,0001	0,0016	0,0081	0,0256	0,0625	0,1296	0,2401	0,4096	0,6561

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Resultado

\boxed{\;\text{a.1)}\ P(C) = 0{,}82 \qquad \text{a.2)}\ P(F \mid \overline{C}) = \frac{4}{9} \approx 0{,}4444\;}

\boxed{\;\text{b.1)}\ P(X = 4) = 0{,}4096 \qquad \text{b.2)}\ P(X \geq 1) = 0{,}9984\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

En a) los usuarios se reparten en dos grupos que no se solapan (comparten o no comparten fotos), y de cada grupo conozco la probabilidad de haber comentado. Es un diagrama de árbol de dos niveles: la probabilidad de haber comentado sale por el teorema de la probabilidad total, y la pregunta «al revés» de a.2) (conozco el resultado y pregunto por el grupo) es el teorema de Bayes.

En b) cada una de las 4 fotos es un ensayo independiente con dos resultados (acierta o no) y la misma probabilidad de acierto, 0,8. El número de aciertos sigue una binomial

B(4;\ 0{,}8)

. «Al menos una» se calcula mejor por el complementario:

1 - P(\text{ninguna})

Desarrollo

a) Sucesos. Llamo

$F$ : «el usuario comparte fotografías», con $P(F) = 0{,}8$ y $P(\overline{F}) = 0{,}2$ ;
$C$ : «ha comentado alguna vez una fotografía de un contacto».

Datos:

P(C \mid \overline{F}) = 0{,}5

P(C \mid F) = 0{,}9

; por tanto

P(\overline{C} \mid \overline{F}) = 0{,}5

P(\overline{C} \mid F) = 0{,}1

Rama	Probabilidad del grupo	$P(C \mid \text{grupo})$	$P(\overline{C} \mid \text{grupo})$
Comparte ( $F$ )	0,8	0,9	0,1
No comparte ( $\overline{F}$ )	0,2	0,5	0,5

a.1) Probabilidad total.

P(C) = P(F)\,P(C \mid F) + P(\overline{F})\,P(C \mid \overline{F}) = 0{,}8\cdot 0{,}9 + 0{,}2\cdot 0{,}5 = 0{,}72 + 0{,}10 = 0{,}82.

a.2) Bayes. Primero,

P(\overline{C}) = 1 - 0{,}82 = 0{,}18

(o bien

0{,}8\cdot 0{,}1 + 0{,}2\cdot 0{,}5 = 0{,}08 + 0{,}10 = 0{,}18

). Entonces

P(F \mid \overline{C}) = \frac{P(F)\,P(\overline{C} \mid F)}{P(\overline{C})} = \frac{0{,}8\cdot 0{,}1}{0{,}18} = \frac{0{,}08}{0{,}18} = \frac{4}{9} \approx 0{,}4444.

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

b) Binomial. Sea

X

= «número de personas identificadas correctamente entre las 4». Cada identificación es independiente, con probabilidad de acierto

p = 0{,}8

, así que

X \sim B(4;\ 0{,}8), \qquad P(X = k) = \binom{4}{k}\,0{,}8^{k}\,0{,}2^{4 - k}.

b.1) Las 4 bien.

P(X = 4) = \binom{4}{4}\,0{,}8^4\,0{,}2^0 = 0{,}8^4 = 0{,}4096,

que coincide con el valor de la tabla para

k = 4

p = 0{,}8

.

b.2) Al menos una bien. Por el complementario:

P(X \geq 1) = 1 - P(X = 0) = 1 - 0{,}2^4 = 1 - 0{,}0016 = 0{,}9984.

(En la tabla,

k = 0

p = 0{,}8

0{,}0016

. Sumando las filas

k = 1

4

0{,}0256 + 0{,}1536 + 0{,}4096 + 0{,}4096 = 0{,}9984

✓.)

Consejo

En a.2) la condición es «nunca ha comentado», así que en Bayes van las ramas de $\overline{C}$ : $P(\overline{C} \mid F) = 0{,}1$ , no $0{,}9$ . El denominador es $P(\overline{C}) = 0{,}18$ .

En b), justifica que es una binomial (ensayos independientes, dos resultados, $p$ constante) y di sus parámetros. «Al menos una» se hace por el complementario: es más corto y con menos errores.