Matemáticas IIFácilProblema · 2,5 pts

Derivadas y aplicaciones

Castilla-La Mancha · 2021 · Junio

Enunciado

a) (1 punto) Sea la función

f(x) = ax^3 - 2x^2 - x + b

con

a, b \in \mathbb{R}

. Determina razonadamente los valores de

a

b

para que la gráfica de la función pase por el punto

(1, 2)

y la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en este punto sea 1.

b) (1,5 puntos) Sea la función

f(x) = \left\{\begin{array}{ll} x^2 - ax + 1 & x < 0 \\ b\,e^x & x \geq 0 \end{array}\right., \quad \text{con } a, b \in \mathbb{R}.

Determina razonadamente los valores de

a

b

para que la función sea continua y derivable en

x = 0

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\text{a)}\ a = 2,\quad b = 3\;}

\boxed{\;\text{b)}\ a = -1,\quad b = 1\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

En a) cada dato del enunciado es una ecuación: «pasa por

(1, 2)

» significa

f(1) = 2

, y «la pendiente de la tangente en ese punto es 1» significa

f'(1) = 1

. Dos ecuaciones para dos incógnitas.

En b) los dos trozos son funciones continuas y derivables en sus intervalos (un polinomio y una exponencial), así que solo hay que mirar el punto de unión

x = 0

: primero la continuidad (límites laterales iguales al valor de la función), que fija

b

, y después la derivabilidad (derivadas laterales iguales), que fija

a

Desarrollo

a) Condiciones sobre $f$ . La derivada es

f'(x) = 3ax^2 - 4x - 1.

Pasa por $(1, 2)$ : $f(1) = a - 2 - 1 + b = 2 \;\Longrightarrow\; a + b = 5$ .
Pendiente de la tangente en $x = 1$ igual a 1: $f'(1) = 3a - 4 - 1 = 1 \;\Longrightarrow\; 3a = 6 \;\Longrightarrow\; a = 2$ .

Entonces

b = 5 - 2 = 3

, y la función es

f(x) = 2x^3 - 2x^2 - x + 3

.

Comprobación:

f(1) = 2 - 2 - 1 + 3 = 2

f'(1) = 6 - 4 - 1 = 1

, como se pedía. (La tangente en ese punto es

y = x + 1

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

b) Continuidad en $x = 0$ .

\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-}\left(x^2 - ax + 1\right) = 1, \qquad \lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} b\,e^x = b, \qquad f(0) = b\,e^0 = b.

Para que sea continua en

x = 0

los tres valores deben coincidir:

b = 1.

Derivabilidad en $x = 0$ . Fuera de

x = 0

f'(x) = \left\{\begin{array}{ll} 2x - a & x < 0 \\ b\,e^x & x > 0 \end{array}\right.

Como la función ya es continua en

x = 0

(con

b = 1

), las derivadas laterales son los límites laterales de

f'

f'(0^-) = \lim_{x \to 0^-}(2x - a) = -a, \qquad f'(0^+) = \lim_{x \to 0^+} b\,e^x = b = 1.

Para que sea derivable deben coincidir:

-a = 1

, luego

a = -1.

Con

a = -1

b = 1

, la función es

f(x) = x^2 + x + 1

para

x < 0

e^x

para

x \geq 0

: los dos trozos valen 1 y tienen pendiente 1 en

x = 0

✓.

Consejo

En a), lee bien las dos condiciones: la pendiente de la tangente es $f'(1)$ , no $f(1)$ . Una vez hallados $a$ y $b$ , sustitúyelos y comprueba las dos.

En b), estudia primero la continuidad: si una función no es continua en un punto, no puede ser derivable en él. Y cuidado con el signo: la derivada de $-ax$ es $-a$ .