Sean los puntos A(0, 0, 1), B(2, 1, 0), C(1, 1, 1) y D(1, 1, 2). - (1,25 puntos) Calcula razonadamente el volumen del tetraedro de vértices A, B, C y D. - (1,25 puntos) Calcula razonadamente la ecuación del plano que pasa por los puntos A, B y C, y la de la recta perpendicular a este plano y que pasa por el punto D.

Matemáticas IIFácilProblema · 2,5 pts

Áreas, volúmenes y distancias

También trata: Rectas y planos

Castilla-La Mancha · 2021 · Junio

Enunciado

Sean los puntos

A(0, 0, 1)

B(2, 1, 0)

C(1, 1, 1)

D(1, 1, 2)

(1,25 puntos) Calcula razonadamente el volumen del tetraedro de vértices $A$ , $B$ , $C$ y $D$ .
(1,25 puntos) Calcula razonadamente la ecuación del plano que pasa por los puntos $A$ , $B$ y $C$ , y la de la recta perpendicular a este plano y que pasa por el punto $D$ .

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;V = \frac{1}{6} \text{ u}^3\;}

\boxed{\;\pi \equiv x - y + z = 1, \qquad r \equiv \frac{x - 1}{1} = \frac{y - 1}{-1} = \frac{z - 2}{1}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Desde el vértice

A

salen tres aristas,

\overrightarrow{AB}

\overrightarrow{AC}

\overrightarrow{AD}

. El producto mixto de esos tres vectores es (en valor absoluto) el volumen del paralelepípedo que forman, y el tetraedro ocupa la sexta parte.

Para el plano

ABC

necesito un vector normal: el producto vectorial

\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}

es perpendicular a los dos y, por tanto, al plano. Ese mismo vector normal sirve de director de la recta perpendicular al plano que pasa por

D

Desarrollo

Vectores desde $A$ .

\overrightarrow{AB} = (2, 1, -1), \qquad \overrightarrow{AC} = (1, 1, 0), \qquad \overrightarrow{AD} = (1, 1, 1).

Volumen del tetraedro. Producto mixto (Sarrus):

\left[\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}, \overrightarrow{AD}\right] = \begin{vmatrix} 2 & 1 & -1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = (2 + 0 - 1) - (-1 + 0 + 1) = 1 - 0 = 1.

Como no es cero, los cuatro puntos no son coplanarios y el tetraedro existe:

V = \frac{1}{6}\left|\left[\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}, \overrightarrow{AD}\right]\right| = \frac{1}{6}\cdot 1 = \frac{1}{6} \text{ u}^3.

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Plano que pasa por $A$ , $B$ y $C$ . Un vector normal es

\vec{n} = \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 2 & 1 & -1 \\ 1 & 1 & 0 \end{vmatrix} = (1\cdot 0 - (-1)\cdot 1)\,\vec{i} - (2\cdot 0 - (-1)\cdot 1)\,\vec{j} + (2\cdot 1 - 1\cdot 1)\,\vec{k} = (1, -1, 1).

El plano es

x - y + z + D' = 0

; como pasa por

A(0, 0, 1)

0 - 0 + 1 + D' = 0

, así que

D' = -1

\pi \equiv x - y + z - 1 = 0.

Comprobación: para

B

2 - 1 + 0 - 1 = 0

, y para

C

1 - 1 + 1 - 1 = 0

: los dos están en

\pi

. Y

D

1 - 1 + 2 - 1 = 1 \neq 0

, así que

D

no está en el plano, como debe ser.

Recta perpendicular al plano por $D$ . Su director es el normal del plano,

\vec{n} = (1, -1, 1)

r \equiv (x, y, z) = (1, 1, 2) + \mu\,(1, -1, 1), \qquad \text{es decir,} \qquad \frac{x - 1}{1} = \frac{y - 1}{-1} = \frac{z - 2}{1}.

Comprobación cruzada del volumen. El área de la base es

\frac{1}{2}|\vec{n}| = \frac{\sqrt{3}}{2}

y la altura es la distancia de

D

al plano,

\frac{|1 - 1 + 2 - 1|}{\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}

; entonces

V = \frac{1}{3}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{1}{6}

✓.

Consejo

El volumen del tetraedro es un sexto del producto mixto en valor absoluto, no un tercio ni el producto mixto entero: es el error más frecuente en este tipo de ejercicio.

Comprueba siempre que los tres puntos cumplen la ecuación del plano. Y recuerda que la recta perpendicular a un plano usa como vector director el vector normal del plano.

Paso 1 de 3

¿Lo has intentado? Con una cuenta marcas hasta dónde llegaste y te proponemos qué repasar después.

¿Te atascas?Pregunta a otros estudiantes y profesores en la comunidad.

Sigue practicando

Áreas, volúmenes y distancias

Ejercicio 4.1 (bloque con optatividad 2). Considera los puntos