Matemáticas IIFácilProblema · 2,5 pts

Áreas, volúmenes y distancias

También trata: Rectas y planos

Castilla-La Mancha · 2021 · Junio

Enunciado

a) (1,25 puntos) Sea el punto

P(1, 0, 1)

y la recta

r \equiv \dfrac{x + 1}{1} = \dfrac{y}{1} = \dfrac{z - 1}{-1}

. Calcula razonadamente la distancia del punto

P

a la recta

r

.

b) (1,25 puntos) Sean las rectas

s \equiv \left\{\begin{array}{l} x = 0 + 2\lambda \\ y = 1 - 2 \cdot a \cdot \lambda \\ z = 0 + 2\lambda \end{array}\right. \quad \text{y} \quad t \equiv \frac{x - 1}{a} = \frac{y + 1}{-1} = \frac{z - 2}{1}.

Calcula razonadamente el valor de

a \in \mathbb{R}

para que las dos rectas sean paralelas.

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\text{a)}\ d(P, r) = \frac{2\sqrt{6}}{3} \approx 1{,}63 \text{ u}\;}

\boxed{\;\text{b)}\ a = 1 \ \text{(rectas paralelas y distintas)}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

En a) leo de la ecuación continua un punto

Q

de la recta y su vector director

\vec{u}

. La distancia de

P

r

es la altura del paralelogramo que forman

\overrightarrow{QP}

\vec{u}

: área (módulo del producto vectorial) entre base (

|\vec{u}|

).

En b) dos rectas son paralelas cuando sus vectores directores son proporcionales y, además, no tienen ningún punto en común (si no, serían la misma recta). Escribo los dos directores en función de

a

, impongo la proporcionalidad y compruebo al final que las rectas no coinciden.

Desarrollo

a) Distancia de $P$ a $r$ . De la ecuación continua de

r

Q(-1, 0, 1) \in r, \qquad \vec{u} = (1, 1, -1).

El vector que va de

Q

P

\overrightarrow{QP} = (1 - (-1),\ 0 - 0,\ 1 - 1) = (2, 0, 0)

. Su producto vectorial con

\vec{u}

\overrightarrow{QP} \times \vec{u} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 2 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & -1 \end{vmatrix} = (0\cdot(-1) - 0\cdot 1)\,\vec{i} - (2\cdot(-1) - 0\cdot 1)\,\vec{j} + (2\cdot 1 - 0\cdot 1)\,\vec{k} = (0, 2, 2).

\left|\overrightarrow{QP} \times \vec{u}\right| = \sqrt{0 + 4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}, \qquad |\vec{u}| = \sqrt{1 + 1 + 1} = \sqrt{3}.

d(P, r) = \frac{\left|\overrightarrow{QP} \times \vec{u}\right|}{|\vec{u}|} = \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{6}}{3} \approx 1{,}633 \text{ u}.

Comprobación por la proyección. El punto genérico de

r

R(-1 + \mu,\ \mu,\ 1 - \mu)

\overrightarrow{PR} = (-2 + \mu,\ \mu,\ -\mu)

. Imponiendo

\overrightarrow{PR} \cdot \vec{u} = 0

-2 + \mu + \mu + \mu = 0

, luego

\mu = \frac{2}{3}

\overrightarrow{PR} = \left(-\frac{4}{3}, \frac{2}{3}, -\frac{2}{3}\right)

, de módulo

\sqrt{\frac{16 + 4 + 4}{9}} = \frac{\sqrt{24}}{3} = \frac{2\sqrt{6}}{3}

✓.

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

b) Rectas paralelas. Los vectores directores son

\vec{v}_s = (2,\ -2a,\ 2), \qquad \vec{v}_t = (a,\ -1,\ 1).

Para que sean proporcionales,

\vec{v}_s = k\,\vec{v}_t

para algún

k

. Comparando la tercera coordenada,

2 = k\cdot 1

, así que

k = 2

y entonces

\left\{\begin{array}{l} 2 = 2a \\ -2a = -2 \end{array}\right. \;\Longrightarrow\; a = 1.

Con

a = 1

\vec{v}_s = (2, -2, 2) = 2\,(1, -1, 1) = 2\,\vec{v}_t

, proporcionales. (Para

a = 0

la recta

t

tendría director

(0, -1, 1)

, que no es proporcional a

(2, 0, 2)

; no da otra solución.)

No son la misma recta. El punto

S(0, 1, 0)

s

(

\lambda = 0

) no está en

t

con

a = 1

\frac{0 - 1}{1} = -1, \qquad \frac{1 + 1}{-1} = -2, \qquad -1 \neq -2.

Por tanto, para

a = 1

las rectas son paralelas (y distintas).

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

En la ecuación continua, los numeradores dan el punto con el signo cambiado: $x + 1$ significa $x = -1$ . Equivocarse ahí cambia $\overrightarrow{QP}$ y toda la distancia.

En b), vectores directores proporcionales no bastan: hay que comprobar que las rectas no tienen un punto en común, porque entonces serían coincidentes y no paralelas.