Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Integrales

Castilla-La Mancha · 2021 · Junio

Enunciado

a) (1,25 puntos) Calcula razonadamente la siguiente integral:

\displaystyle\int \frac{2}{3 + e^x}\,dx

.

(Cambio de variable sugerido: $e^x = t$ .)

b) (1,25 puntos) Calcula razonadamente la siguiente integral:

\displaystyle\int \frac{-x + 1}{x^2 + 3}\,dx

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\text{a)}\ \int \frac{2}{3 + e^x}\,dx = \frac{2}{3}\,x - \frac{2}{3}\ln\left(3 + e^x\right) + C\;}

\boxed{\;\text{b)}\ \int \frac{-x + 1}{x^2 + 3}\,dx = -\frac{1}{2}\ln\left(x^2 + 3\right) + \frac{\sqrt{3}}{3}\operatorname{arctg}\frac{x}{\sqrt{3}} + C\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

En a) hago el cambio que sugieren,

e^x = t

. Como

dt = e^x\,dx = t\,dx

, queda

dx = \frac{dt}{t}

y la integral se convierte en una racional en

t

, con denominador

t(t + 3)

, que se descompone en fracciones simples. Al final se deshace el cambio.

En b) el denominador

x^2 + 3

no tiene raíces reales, así que no hay fracciones simples: parto la fracción en dos. La parte con

x

es «casi» la derivada del denominador (da un logaritmo) y la parte constante es del tipo

\frac{1}{x^2 + k^2}

(da un arco tangente).

Desarrollo

a) Cambio de variable. Con

t = e^x

se tiene

dt = e^x\,dx = t\,dx

, es decir,

dx = \dfrac{dt}{t}

\int \frac{2}{3 + e^x}\,dx = \int \frac{2}{3 + t}\cdot\frac{dt}{t} = \int \frac{2}{t\,(t + 3)}\,dt.

Fracciones simples. Busco

A

B

con

\frac{2}{t\,(t + 3)} = \frac{A}{t} + \frac{B}{t + 3} \;\Longrightarrow\; 2 = A\,(t + 3) + B\,t.

Para $t = 0$ : $2 = 3A$ , luego $A = \frac{2}{3}$ .
Para $t = -3$ : $2 = -3B$ , luego $B = -\frac{2}{3}$ .

Entonces

\int \frac{2}{t\,(t + 3)}\,dt = \frac{2}{3}\int \frac{dt}{t} - \frac{2}{3}\int \frac{dt}{t + 3} = \frac{2}{3}\ln|t| - \frac{2}{3}\ln|t + 3| + C.

Deshago el cambio. Como

t = e^x > 0

t + 3 = 3 + e^x > 0

, sobran los valores absolutos, y

\ln e^x = x

\int \frac{2}{3 + e^x}\,dx = \frac{2}{3}\,x - \frac{2}{3}\ln\left(3 + e^x\right) + C.

Comprobación (derivando):

\frac{d}{dx}\left[\frac{2}{3}x - \frac{2}{3}\ln(3 + e^x)\right] = \frac{2}{3} - \frac{2}{3}\cdot\frac{e^x}{3 + e^x} = \frac{2}{3}\cdot\frac{3 + e^x - e^x}{3 + e^x} = \frac{2}{3 + e^x}

que es el integrando ✓.

b) Separar en dos integrales.

\int \frac{-x + 1}{x^2 + 3}\,dx = -\int \frac{x}{x^2 + 3}\,dx + \int \frac{1}{x^2 + 3}\,dx.

Primera. La derivada de

x^2 + 3

2x

, así que multiplico y divido por 2:

-\int \frac{x}{x^2 + 3}\,dx = -\frac{1}{2}\int \frac{2x}{x^2 + 3}\,dx = -\frac{1}{2}\ln\left(x^2 + 3\right)

(sin valor absoluto:

x^2 + 3 > 0

).

Segunda. Saco factor común 3 en el denominador para llegar a la forma

\frac{1}{1 + u^2}

\int \frac{1}{x^2 + 3}\,dx = \frac{1}{3}\int \frac{1}{1 + \left(\frac{x}{\sqrt{3}}\right)^2}\,dx = \frac{1}{3}\cdot\sqrt{3}\,\operatorname{arctg}\frac{x}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}\operatorname{arctg}\frac{x}{\sqrt{3}},

porque la derivada de

\operatorname{arctg}\frac{x}{\sqrt{3}}

\frac{1}{\sqrt{3}}\cdot\frac{1}{1 + x^2/3}

.

Resultado:

\int \frac{-x + 1}{x^2 + 3}\,dx = -\frac{1}{2}\ln\left(x^2 + 3\right) + \frac{\sqrt{3}}{3}\operatorname{arctg}\frac{x}{\sqrt{3}} + C.

Comprobación (derivando):

-\frac{1}{2}\cdot\frac{2x}{x^2 + 3} + \frac{\sqrt{3}}{3}\cdot\frac{1}{\sqrt{3}}\cdot\frac{3}{x^2 + 3} = \frac{-x}{x^2 + 3} + \frac{1}{x^2 + 3} = \frac{-x + 1}{x^2 + 3}

✓.

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Al cambiar de variable hay que cambiar también el $dx$ : aquí $dx = dt/t$ . Olvidarlo deja $\int \frac{2}{3 + t}\,dt$ , que es otra integral. Y al final se vuelve a la variable $x$ .

En b), no confundas los dos trozos: $\frac{x}{x^2 + 3}$ da logaritmo y $\frac{1}{x^2 + 3}$ da arco tangente, con el factor $\frac{1}{\sqrt{3}}$ que muchos pierden. No olvides la constante $C$ .