Matrices

a) Determinante de la traspuesta. Por la regla de Sarrus,$$|A| = \begin{vmatrix} 2 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \end{vmatrix} = (2\cdot 1\cdot 1 + 1\cdot 1\cdot 1 + 2\cdot 0\cdot 0) - (2\cdot 1\cdot 1 + 2\cdot 1\cdot 0 + 1\cdot 0\cdot 1) = 3 - 2 = 1.$$Un determinante es igual al de su traspuesta (las filas de una son las columnas de la otra y el desarrollo da los mismos productos), por lo que$$|A^{\top}| = |A| = 1.$$(Si se prefiere comprobarlo, $A^{\top} = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & 1 \end{pmatrix}$ y por Sarrus $|A^{\top}| = (2 + 0 + 1) - (2 + 0 + 0) = 1$.)

b) Despejar $X$. Paso $3A$ al otro miembro:$$X A = B - 3A.$$Como $|A| = 1 \neq 0$, $A$ tiene inversa. Multiplico los dos miembros por la derecha por $A^{-1}$:$$X A A^{-1} = (B - 3A) A^{-1} \;\Longrightarrow\; X = (B - 3A) A^{-1} = B A^{-1} - 3I.$$Inversa de $A$. Los adjuntos $A_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij}$ son$$A_{11} = \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = 1, \quad A_{12} = -\begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = 1, \quad A_{13} = \begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = -1,$$$$A_{21} = -\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = -1, \quad A_{22} = \begin{vmatrix} 2 & 2 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = 0, \quad A_{23} = -\begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = 1,$$$$A_{31} = \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = -1, \quad A_{32} = -\begin{vmatrix} 2 & 2 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = -2, \quad A_{33} = \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = 2.$$$$\operatorname{Adj}(A) = \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 \\ -1 & 0 & 1 \\ -1 & -2 & 2 \end{pmatrix}, \qquad A^{-1} = \frac{1}{|A|}\operatorname{Adj}(A)^{\top} = \begin{pmatrix} 1 & -1 & -1 \\ 1 & 0 & -2 \\ -1 & 1 & 2 \end{pmatrix}.$$Comprobación: $A A^{-1} = \begin{pmatrix} 2+1-2 & -2+0+2 & -2-2+4 \\ 0+1-1 & 0+0+1 & 0-2+2 \\ 1+0-1 & -1+0+1 & -1+0+2 \end{pmatrix} = I$ ✓.

Cálculo de $X$. Primero$$B - 3A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 6 & 3 & 6 \\ 0 & 3 & 3 \\ 3 & 0 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -6 & -2 & -5 \\ 1 & -3 & -2 \\ -3 & 1 & -3 \end{pmatrix},$$y después$$X = \begin{pmatrix} -6 & -2 & -5 \\ 1 & -3 & -2 \\ -3 & 1 & -3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & -1 & -1 \\ 1 & 0 & -2 \\ -1 & 1 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -6-2+5 & 6+0-5 & 6+4-10 \\ 1-3+2 & -1+0-2 & -1+6-4 \\ -3+1+3 & 3+0-3 & 3-2-6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 & 1 & 0 \\ 0 & -3 & 1 \\ 1 & 0 & -5 \end{pmatrix}.$$(Por el otro camino, $BA^{-1} = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & -2 \end{pmatrix}$ y $X = BA^{-1} - 3I$ da lo mismo.)

Comprobación. $XA = \begin{pmatrix} -6 & -2 & -5 \\ 1 & -3 & -2 \\ -3 & 1 & -3 \end{pmatrix}$, que es justo $B - 3A$; por tanto $XA + 3A = B$ ✓.