Matemáticas IIFácilProblema · 2,5 pts

Probabilidad

Castilla-La Mancha · 2021 · Julio

Enunciado

a) En el servicio de urgencias clasifican a los pacientes en leves y graves según llegan al hospital. El

20\,\%

de los pacientes leves debe ingresar en el hospital, mientras que el

60\,\%

de los pacientes graves debe hacerlo. En un día cualquiera llegan al servicio de urgencias un

90\,\%

de pacientes leves y un

10\,\%

de pacientes graves. Si se selecciona un paciente al azar:

a.1) (0,5 puntos) ¿Qué probabilidad hay de que deba ingresar en el hospital?

a.2) (0,75 puntos) Si se sabe que el paciente tuvo que ingresar, ¿cuál es la probabilidad de que llegara al hospital con una dolencia leve?

b) En un momento dado llegan 8 pacientes a urgencias.

b.1) (0,5 puntos) ¿Qué probabilidad hay de que exactamente 4 pacientes se clasifiquen como leves?

b.2) (0,75 puntos) ¿Cuál es la probabilidad de que como mucho 7 pacientes sean clasificados como leves?

(Se adjunta la tabla de la distribución binomial para

n = 8

p = 0{,}1;\ 0{,}2;\ \ldots;\ 0{,}9

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\text{a.1)}\ P(I) = 0{,}24 \qquad \text{a.2)}\ P(L \mid I) = 0{,}75}

\boxed{\text{b.1)}\ P(X = 4) \approx 0{,}0046 \qquad \text{b.2)}\ P(X \le 7) = 1 - 0{,}9^8 \approx 0{,}5695}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

En a) el experimento tiene dos etapas: primero el paciente es leve o grave y, después, ingresa o no. Es el esquema del diagrama de árbol: la probabilidad de ingresar se obtiene con el teorema de la probabilidad total (sumando las dos ramas que acaban en «ingresa») y la pregunta «sabiendo que ingresó, ¿era leve?» es una probabilidad «hacia atrás», el teorema de Bayes.

En b) cada uno de los 8 pacientes es leve con probabilidad

0{,}9

, independientemente de los demás: el número de leves sigue una binomial

B(8;\ 0{,}9)

. Para «como mucho 7» lo más cómodo es el suceso contrario: todos menos el caso de 8 leves.

Desarrollo

Sucesos.

L

= «el paciente es leve»,

G

= «es grave»,

I

= «debe ingresar». Datos:

P(L) = 0{,}9, \quad P(G) = 0{,}1, \quad P(I \mid L) = 0{,}2, \quad P(I \mid G) = 0{,}6

Árbol:

$L$ ( $0{,}9$ ) → ingresa ( $0{,}2$ ): $0{,}9 \cdot 0{,}2 = 0{,}18$ ; no ingresa ( $0{,}8$ ): $0{,}72$ .
$G$ ( $0{,}1$ ) → ingresa ( $0{,}6$ ): $0{,}1 \cdot 0{,}6 = 0{,}06$ ; no ingresa ( $0{,}4$ ): $0{,}04$ .

(Las cuatro ramas suman

0{,}18 + 0{,}72 + 0{,}06 + 0{,}04 = 1

.)

a.1) Por el teorema de la probabilidad total,

P(I) = P(L)\,P(I \mid L) + P(G)\,P(I \mid G) = 0{,}9 \cdot 0{,}2 + 0{,}1 \cdot 0{,}6 = 0{,}18 + 0{,}06 = 0{,}24

a.2) Por el teorema de Bayes,

P(L \mid I) = \frac{P(L)\,P(I \mid L)}{P(I)} = \frac{0{,}18}{0{,}24} = \frac{3}{4} = 0{,}75

Tiene sentido: aunque los leves ingresan poco, son tantos que forman las tres cuartas partes de los ingresos.

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

b) Sea

X

= número de pacientes leves entre los 8. Cada paciente es leve o no (dos resultados), con probabilidad constante

p = 0{,}9

y de forma independiente, así que

X \sim B(8;\ 0{,}9), \qquad P(X = k) = \binom{8}{k}\,0{,}9^k\,0{,}1^{8-k}

b.1)

P(X = 4) = \binom{8}{4}\,0{,}9^4\,0{,}1^4 = 70 \cdot 0{,}6561 \cdot 0{,}0001 = 0{,}0045927 \approx 0{,}0046

que coincide con la tabla (fila

k = 4

, columna

p = 0{,}9

).

b.2) «Como mucho 7» es

X \le 7

, cuyo contrario es

X = 8

P(X \le 7) = 1 - P(X = 8) = 1 - 0{,}9^8 = 1 - 0{,}4305 = 0{,}5695

(en la tabla,

P(X = 8) = 0{,}4305

en la columna

p = 0{,}9

; con más decimales,

0{,}9^8 = 0{,}43047

P(X \le 7) = 0{,}56953

Consejo

Define los sucesos y la variable antes de calcular: « $X$ = número de leves, $X \sim B(8;\ 0{,}9)$ » vale puntos por sí mismo, y justifica por qué es binomial (dos resultados, $p$ constante, independencia).

En b.2), sumar $P(X = 0) + \dots + P(X = 7)$ es largo y arrastra redondeos: el suceso contrario lo resuelve en una línea. Y en a.2) no confundas $P(L \mid I)$ con $P(I \mid L) = 0{,}2$ .