Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Derivadas y aplicaciones

Castilla-La Mancha · 2021 · Julio
Enunciado
a) (1 punto) Sea la función f(x)=a⋅x3+b⋅x2+x−1f(x) = a \cdot x^3 + b \cdot x^2 + x - 1, con a,b∈Ra, b \in \mathbb{R}. Determina los valores de aa y bb para que la gráfica de f(x)f(x) pase por el punto (1,1)(1, 1) y tenga aquí un punto de inflexión.

b) (1,5 puntos) Sea la función f(x)=xsen⁡(x)−cos⁡(x)f(x) = x\operatorname{sen}(x) - \cos(x). Enuncia el teorema de Rolle y úsalo para razonar si la función f(x)f(x) tiene al menos un extremo relativo en el intervalo [−1,1][-1, 1].
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Resultado
a) a=−12,b=32\boxed{\text{a)}\ a = -\tfrac{1}{2},\quad b = \tfrac{3}{2}}b) Sıˊ: Rolle da c∈(−1,1) con f′(c)=0; c=0 es un mıˊnimo relativo, f(0)=−1\boxed{\text{b)}\ \text{Sí: Rolle da } c \in (-1, 1) \text{ con } f'(c) = 0;\ c = 0 \text{ es un mínimo relativo, } f(0) = -1}
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Estrategia

En a) cada condición del enunciado es una ecuación: «pasa por (1,1)(1, 1)» es f(1)=1f(1) = 1, y «tiene un punto de inflexión en x=1x = 1» exige f′′(1)=0f''(1) = 0. Dos ecuaciones lineales para las dos incógnitas; al final comprobamos que de verdad cambia la curvatura.

En b) enunciamos Rolle y comprobamos sus tres hipótesis en [−1,1][-1, 1]: continuidad, derivabilidad y que la función valga lo mismo en los extremos. Rolle asegura un punto cc interior con f′(c)=0f'(c) = 0. Pero un punto con derivada nula no siempre es un extremo (piensa en x3x^3 en el origen), así que remataremos viendo qué ocurre en ese punto.
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Desarrollo

a) Derivadas:f′(x)=3ax2+2bx+1,f′′(x)=6ax+2bf'(x) = 3ax^2 + 2bx + 1, \qquad f''(x) = 6ax + 2bCondiciones:f(1)=1:a+b+1−1=1  ⟹  a+b=1f(1) = 1:\quad a + b + 1 - 1 = 1 \;\Longrightarrow\; a + b = 1f′′(1)=0:6a+2b=0  ⟹  b=−3af''(1) = 0:\quad 6a + 2b = 0 \;\Longrightarrow\; b = -3aSustituyendo, a−3a=1⇒a=−12a - 3a = 1 \Rightarrow a = -\frac{1}{2} y b=32b = \frac{3}{2}.

Comprobación. f(x)=−12x3+32x2+x−1f(x) = -\frac{1}{2}x^3 + \frac{3}{2}x^2 + x - 1: f(1)=−12+32+1−1=1f(1) = -\frac{1}{2} + \frac{3}{2} + 1 - 1 = 1. Además f′′(x)=−3x+3f''(x) = -3x + 3 cambia de signo en x=1x = 1 (positiva antes, negativa después) y f′′′(1)=−3≠0f'''(1) = -3 \neq 0: es un punto de inflexión de verdad.

b) Teorema de Rolle. Si ff es continua en el intervalo cerrado [a,b][a, b], derivable en el abierto (a,b)(a, b) y f(a)=f(b)f(a) = f(b), entonces existe al menos un c∈(a,b)c \in (a, b) tal que f′(c)=0f'(c) = 0.

Hipótesis en [−1,1][-1, 1].
  • xsen⁡xx\operatorname{sen}x y cos⁡x\cos x son continuas y derivables en todo R\mathbb{R} (productos y diferencias de funciones elementales), luego ff es continua en [−1,1][-1, 1] y derivable en (−1,1)(-1, 1).
  • Valores en los extremos (el seno es impar y el coseno par):
f(−1)=(−1)sen⁡(−1)−cos⁡(−1)=sen⁡1−cos⁡1,f(1)=sen⁡1−cos⁡1f(-1) = (-1)\operatorname{sen}(-1) - \cos(-1) = \operatorname{sen}1 - \cos 1, \qquad f(1) = \operatorname{sen}1 - \cos 1Así que f(−1)=f(1)f(-1) = f(1) (≈0,301\approx 0{,}301). De hecho, ff es una función par.

Se cumplen las tres hipótesis, luego existe c∈(−1,1)c \in (-1, 1) con f′(c)=0f'(c) = 0.

¿Es un extremo? Calculamos la derivada:f′(x)=sen⁡x+xcos⁡x+sen⁡x=2sen⁡x+xcos⁡xf'(x) = \operatorname{sen}x + x\cos x + \operatorname{sen}x = 2\operatorname{sen}x + x\cos xSe anula en c=0c = 0. Además, en (0,1](0, 1] se tiene sen⁡x>0\operatorname{sen}x > 0 y cos⁡x>0\cos x > 0, así que f′(x)>0f'(x) > 0; y en [−1,0)[-1, 0), sen⁡x<0\operatorname{sen}x < 0 y xcos⁡x<0x\cos x < 0, así que f′(x)<0f'(x) < 0. Por tanto c=0c = 0 es el único punto con derivada nula y ff decrece antes y crece después: hay un mínimo relativo en x=0x = 0, de valor f(0)=0−cos⁡0=−1f(0) = 0 - \cos 0 = -1. (Con la derivada segunda: f′′(x)=3cos⁡x−xsen⁡xf''(x) = 3\cos x - x\operatorname{sen}x, f′′(0)=3>0f''(0) = 3 > 0, mínimo.)

Otra forma de verlo: ff es continua en [−1,1][-1, 1], así que alcanza un máximo y un mínimo absolutos (Weierstrass); como f(−1)=f(1)≈0,301f(-1) = f(1) \approx 0{,}301 y f(0)=−1f(0) = -1 es menor, el mínimo absoluto está en un punto interior, que es también un mínimo relativo.

Conclusión: sí, ff tiene al menos un extremo relativo en [−1,1][-1, 1]: un mínimo relativo en (0,−1)(0, -1).
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Consejo

En a), el punto de inflexión exige f′′(1)=0f''(1) = 0 (no f′(1)=0f'(1) = 0, que sería un extremo). Muchos olvidan la condición de pasar por el punto o la plantean con f′f'.

En b), enuncia Rolle con sus tres hipótesis y compruébalas una a una: es la mitad de la nota. Rolle solo da un punto con f′(c)=0f'(c) = 0; para afirmar que es un extremo, justifícalo con el signo de f′f' o con f′′f''.
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