Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Derivadas y aplicaciones

Castilla-La Mancha · 2021 · Julio

Enunciado

Sea la función

f(x) = \dfrac{2x^2 + 2x - 2}{3x^2 + 3}

.

a) (1,5 puntos) Halla razonadamente las coordenadas de los extremos relativos de la función

f(x)

y clasifícalos.

b) (1 punto) Calcula la ecuación de la recta tangente y la ecuación de la recta normal a la gráfica de la función

f(x)

en el punto de abscisa

x = 1

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Resultado

\boxed{\text{a)}\ \text{Mínimo relativo en } \left(2 - \sqrt{5},\ -\tfrac{\sqrt{5}}{3}\right),\ \text{máximo relativo en } \left(2 + \sqrt{5},\ \tfrac{\sqrt{5}}{3}\right)}

\boxed{\text{b)}\ \text{Tangente: } y = \tfrac{2}{3}x - \tfrac{1}{3}; \quad \text{normal: } y = -\tfrac{3}{2}x + \tfrac{11}{6}}

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Estrategia

El denominador

3x^2 + 3

nunca se anula, así que

f

es continua y derivable en todo

\mathbb{R}

. Los extremos relativos estarán donde

f'(x) = 0

; los clasificamos con el signo de $f'$ a cada lado (crece y luego decrece: máximo; al revés: mínimo).

Para derivar usamos la regla del cociente y simplificamos el numerador antes de seguir: sale un polinomio de segundo grado, fácil de estudiar. Las raíces no son enteras (

2 \pm \sqrt{5}

), así que para calcular las ordenadas conviene un pequeño truco: usar que en esos puntos

x^2 = 4x + 1

.

En b) necesitamos

f(1)

y la pendiente

f'(1)

. La tangente tiene pendiente

f'(1)

y la normal, la perpendicular:

-\frac{1}{f'(1)}

Desarrollo

Dominio.

3x^2 + 3 \ge 3 > 0

para todo

x

, luego

\operatorname{Dom} f = \mathbb{R}

f

es derivable en todo

\mathbb{R}

.

a) Derivada por la regla del cociente:

f'(x) = \frac{(4x + 2)(3x^2 + 3) - (2x^2 + 2x - 2)\cdot 6x}{(3x^2 + 3)^2}

Desarrollamos el numerador:

(4x + 2)(3x^2 + 3) = 12x^3 + 6x^2 + 12x + 6, \qquad (2x^2 + 2x - 2)\cdot 6x = 12x^3 + 12x^2 - 12x

\text{Numerador} = -6x^2 + 24x + 6 = -6\,(x^2 - 4x - 1)

Como

(3x^2 + 3)^2 = 9(x^2 + 1)^2

f'(x) = \frac{-6\,(x^2 - 4x - 1)}{9\,(x^2 + 1)^2} = \frac{-2\,(x^2 - 4x - 1)}{3\,(x^2 + 1)^2}

Puntos críticos.

f'(x) = 0 \iff x^2 - 4x - 1 = 0

x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 4}}{2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{5}}{2} = 2 \pm \sqrt{5}

es decir,

x_1 = 2 - \sqrt{5} \approx -0{,}236

x_2 = 2 + \sqrt{5} \approx 4{,}236

.

Signo de $f'$ . El denominador es positivo, así que el signo de

f'

es el de

-(x^2 - 4x - 1)

. La parábola

x^2 - 4x - 1

es positiva fuera de sus raíces y negativa entre ellas:

Intervalo	$(-\infty,\ 2 - \sqrt{5})$	$(2 - \sqrt{5},\ 2 + \sqrt{5})$	$(2 + \sqrt{5},\ +\infty)$
Valor de prueba	$f'(-1) = -\frac{2}{3}$	$f'(0) = \frac{2}{3}$	$f'(5) = -\frac{2}{507}$
Signo de $f'$	$-$	$+$	$-$
$f$	decrece	crece	decrece

Por tanto hay un mínimo relativo en

x = 2 - \sqrt{5}

y un máximo relativo en

x = 2 + \sqrt{5}

.

Ordenadas. Escribimos

f(x) = \frac{2}{3}\cdot\frac{x^2 + x - 1}{x^2 + 1}

. En los puntos críticos se cumple

x^2 = 4x + 1

, así que

x^2 + x - 1 = 5x, \qquad x^2 + 1 = 4x + 2 \;\Longrightarrow\; f(x) = \frac{2}{3}\cdot\frac{5x}{2(2x + 1)} = \frac{5x}{3(2x + 1)}

Para $x = 2 + \sqrt{5}$ : $\dfrac{2 + \sqrt{5}}{5 + 2\sqrt{5}} = \dfrac{(2 + \sqrt{5})(5 - 2\sqrt{5})}{25 - 20} = \dfrac{10 - 4\sqrt{5} + 5\sqrt{5} - 10}{5} = \dfrac{\sqrt{5}}{5}$ , luego $f(2 + \sqrt{5}) = \dfrac{5}{3}\cdot\dfrac{\sqrt{5}}{5} = \dfrac{\sqrt{5}}{3} \approx 0{,}745$ .
Para $x = 2 - \sqrt{5}$ : del mismo modo, $\dfrac{2 - \sqrt{5}}{5 - 2\sqrt{5}} = -\dfrac{\sqrt{5}}{5}$ , luego $f(2 - \sqrt{5}) = -\dfrac{\sqrt{5}}{3} \approx -0{,}745$ .

(Comprobación numérica:

f(4{,}236) = \frac{2\cdot 17{,}944 + 8{,}472 - 2}{3\cdot 17{,}944 + 3} = \frac{42{,}36}{56{,}83} \approx 0{,}745

.)

b) En

x = 1

f(1) = \frac{2 + 2 - 2}{3 + 3} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}, \qquad f'(1) = \frac{-2\,(1 - 4 - 1)}{3\,(1 + 1)^2} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}

Recta tangente:

y - f(1) = f'(1)\,(x - 1)

y - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}(x - 1) \;\Longrightarrow\; y = \frac{2}{3}x - \frac{1}{3} \quad (\text{o } 2x - 3y - 1 = 0)

Recta normal: pendiente

-\frac{1}{f'(1)} = -\frac{3}{2}

y - \frac{1}{3} = -\frac{3}{2}(x - 1) \;\Longrightarrow\; y = -\frac{3}{2}x + \frac{11}{6} \quad (\text{o } 9x + 6y - 11 = 0)

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Simplifica el numerador de $f'$ antes de igualar a cero: con la regla del cociente es muy fácil equivocarse en un signo. El truco de usar $x^2 = 4x + 1$ en los puntos críticos evita operar con $(2 + \sqrt{5})^2$ y racionalizar fracciones enormes.

Los extremos se piden con sus dos coordenadas y clasificados. La pendiente de la normal es $-1/f'(1)$ , no $-f'(1)$ ni $1/f'(1)$ .