Sean los planos \pi_1 \equiv a \cdot x + y + 2 \cdot z = 3 y \pi_2 \equiv 2 \cdot x - y + a \cdot z = 0. a) (1 punto) Determina razonadamente el valor de a para que los planos \pi_1 y \pi_2 sean perpendiculares. b) (1,5 puntos) Para a = 1 calcula la distancia del punto P(2, 0, 1) al plano \pi_1.

Matemáticas IIFácilProblema · 2,5 pts

Áreas, volúmenes y distancias

También trata: Rectas y planos

Castilla-La Mancha · 2021 · Julio

Enunciado

Sean los planos

\pi_1 \equiv a \cdot x + y + 2 \cdot z = 3

\pi_2 \equiv 2 \cdot x - y + a \cdot z = 0

.

a) (1 punto) Determina razonadamente el valor de

a

para que los planos

\pi_1

\pi_2

sean perpendiculares.

b) (1,5 puntos) Para

a = 1

calcula la distancia del punto

P(2, 0, 1)

al plano

\pi_1

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Resultado

\boxed{\text{a)}\ a = \frac{1}{4} \qquad \text{b)}\ d(P, \pi_1) = \frac{\sqrt{6}}{6} \approx 0{,}408\ \text{u}}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Todo gira alrededor de los vectores normales: los coeficientes de

x

y

z

en la ecuación general de un plano forman un vector perpendicular a él.

En a) dos planos son perpendiculares cuando lo son sus vectores normales, es decir, cuando su producto escalar es cero. Eso da una ecuación de primer grado en

a

.

En b) fijamos

a = 1

y aplicamos la fórmula de la distancia de un punto a un plano: se sustituye el punto en la ecuación (igualada a cero), se toma el valor absoluto y se divide entre el módulo del vector normal.

Desarrollo

a) Los vectores normales son

\vec{n}_1 = (a, 1, 2), \qquad \vec{n}_2 = (2, -1, a)

Los planos son perpendiculares si y solo si

\vec{n}_1 \perp \vec{n}_2

\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2 = a\cdot 2 + 1\cdot(-1) + 2\cdot a = 4a - 1 = 0 \;\Longrightarrow\; a = \frac{1}{4}

Para ese valor,

\vec{n}_1 = \left(\frac{1}{4}, 1, 2\right)

\vec{n}_2 = \left(2, -1, \frac{1}{4}\right)

, y efectivamente

\frac{1}{2} - 1 + \frac{1}{2} = 0

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b) Con

a = 1

, el plano es

\pi_1 \equiv x + y + 2z - 3 = 0

, con

\vec{n}_1 = (1, 1, 2)

. La distancia de

P(x_0, y_0, z_0)

Ax + By + Cz + D = 0

d(P, \pi) = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}

Sustituyendo

P(2, 0, 1)

d(P, \pi_1) = \frac{|1\cdot 2 + 1\cdot 0 + 2\cdot 1 - 3|}{\sqrt{1^2 + 1^2 + 2^2}} = \frac{|1|}{\sqrt{6}} = \frac{1}{\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{6}}{6} \approx 0{,}408 \text{ u}

Comprobación con la proyección: la recta perpendicular a

\pi_1

por

P

(2 + \lambda,\ \lambda,\ 1 + 2\lambda)

; al sustituir en

\pi_1

2 + \lambda + \lambda + 2 + 4\lambda - 3 = 0 \Rightarrow \lambda = -\frac{1}{6}

. El pie es

Q\left(\frac{11}{6}, -\frac{1}{6}, \frac{2}{3}\right)

|\overrightarrow{PQ}| = \frac{1}{6}\,|(1, 1, 2)| = \frac{\sqrt{6}}{6}

, lo mismo.

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Consejo

Perpendicularidad y paralelismo de planos se miran siempre en los vectores normales: planos perpendiculares ⇔ normales con producto escalar nulo; planos paralelos ⇔ normales proporcionales. No los confundas.

En la fórmula de la distancia, pasa antes el término independiente al primer miembro ( $x + y + 2z - 3 = 0$ ): el error típico es sustituir en $x + y + 2z = 3$ y olvidar el $-3$ .