Matemáticas IIFácilProblema · 2,5 pts

Integrales

Castilla-La Mancha · 2021 · Julio

Enunciado

a) (1,25 puntos) Calcula razonadamente la siguiente integral:

\displaystyle\int x \cdot \cos(3x)\,dx

.

b) (1,25 puntos) Calcula razonadamente la siguiente integral:

\displaystyle\int \frac{dx}{2x^2 + 1}

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\text{a)}\ \int x\cos(3x)\,dx = \frac{x\operatorname{sen}(3x)}{3} + \frac{\cos(3x)}{9} + C}

\boxed{\text{b)}\ \int \frac{dx}{2x^2 + 1} = \frac{\sqrt{2}}{2}\operatorname{arctg}\big(\sqrt{2}\,x\big) + C}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

En a) tenemos el producto de un polinomio por un coseno: es el caso típico de integración por partes. Elegimos

u = x

(que al derivar se simplifica) y

dv = \cos(3x)\,dx

(que sabemos integrar), y la integral que queda es inmediata.

En b) el denominador es «algo al cuadrado más 1», que recuerda a la derivada del arco tangente,

\int \frac{dt}{1 + t^2} = \operatorname{arctg} t

. Escribimos

2x^2 = (\sqrt{2}\,x)^2

y hacemos el cambio

t = \sqrt{2}\,x

, sin olvidar ajustar el

dx

Desarrollo

a) Por partes,

\int u\,dv = uv - \int v\,du

, con

u = x \;\Rightarrow\; du = dx, \qquad dv = \cos(3x)\,dx \;\Rightarrow\; v = \int \cos(3x)\,dx = \frac{\operatorname{sen}(3x)}{3}

Entonces

\int x\cos(3x)\,dx = \frac{x\operatorname{sen}(3x)}{3} - \int \frac{\operatorname{sen}(3x)}{3}\,dx = \frac{x\operatorname{sen}(3x)}{3} - \frac{1}{3}\cdot\left(-\frac{\cos(3x)}{3}\right) + C

\int x\cos(3x)\,dx = \frac{x\operatorname{sen}(3x)}{3} + \frac{\cos(3x)}{9} + C

Comprobación derivando:

\left(\frac{x\operatorname{sen}(3x)}{3} + \frac{\cos(3x)}{9}\right)' = \frac{\operatorname{sen}(3x)}{3} + \frac{3x\cos(3x)}{3} - \frac{3\operatorname{sen}(3x)}{9} = x\cos(3x)

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b) Escribimos el denominador como

1 + (\sqrt{2}\,x)^2

y hacemos el cambio

t = \sqrt{2}\,x \;\Rightarrow\; dt = \sqrt{2}\,dx \;\Rightarrow\; dx = \frac{dt}{\sqrt{2}}

\int \frac{dx}{2x^2 + 1} = \int \frac{1}{1 + t^2}\cdot\frac{dt}{\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}\operatorname{arctg} t + C = \frac{1}{\sqrt{2}}\operatorname{arctg}\big(\sqrt{2}\,x\big) + C

Racionalizando,

\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}

.

Comprobación derivando con la regla de la cadena:

\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\operatorname{arctg}(\sqrt{2}\,x)\right)' = \frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{\sqrt{2}}{1 + 2x^2} = \frac{1}{2x^2 + 1}

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Consejo

En a), si eliges al revés ( $u = \cos 3x$ , $dv = x\,dx$ ) la integral se complica en vez de simplificarse. Cuidado con el signo: la primitiva de $\operatorname{sen}(3x)$ es $-\frac{\cos(3x)}{3}$ , y el menos se come con el menos de la fórmula de partes.

En b), el error típico es olvidar el factor $\frac{1}{\sqrt{2}}$ del cambio. Deriva tu resultado al final: si no sale el integrando, algo falla. Y no olvides la $+C$ .