Sistemas de ecuaciones

a) Las matrices de coeficientes y ampliada son$$M = \begin{pmatrix} 1 & a & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ a & 2 & 1 \end{pmatrix}, \qquad M^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & a & 1 & 2 \\ 1 & 0 & 1 & a \\ a & 2 & 1 & 3 \end{array}\right)$$Desarrollando por la segunda fila,$$|M| = -1\cdot\begin{vmatrix} a & 1 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} + 0 - 1\cdot\begin{vmatrix} 1 & a \\ a & 2 \end{vmatrix} = -(a - 2) - (2 - a^2) = a^2 - a = a(a - 1)$$Se anula para $a = 0$ y para $a = 1$.

Caso $a \neq 0$ y $a \neq 1$. $|M| \neq 0$, luego $\operatorname{rg} M = 3 = \operatorname{rg} M^* =$ número de incógnitas: sistema compatible determinado (solución única).

Caso $a = 0$. El sistema queda$$\left\{\begin{array}{l} x + z = 2 \\ x + z = 0 \\ 2y + z = 3 \end{array}\right.$$Las dos primeras ecuaciones dicen a la vez $x + z = 2$ y $x + z = 0$: se contradicen. En términos de rangos, $\operatorname{rg} M = 2$ (el menor $\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = 1 \neq 0$, columnas 1 y 3 de las filas 2 y 3) y en la ampliada$$\begin{vmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 3 \end{vmatrix} = 1\cdot(3 - 0) - 1\cdot(3 - 0) + 2\cdot(1 - 0) = 2 \neq 0$$(columnas de $x$, $z$ y términos independientes), así que $\operatorname{rg} M^* = 3 \neq \operatorname{rg} M$: sistema incompatible.

Caso $a = 1$. El sistema queda$$\left\{\begin{array}{l} x + y + z = 2 \\ x + z = 1 \\ x + 2y + z = 3 \end{array}\right.$$Restando la segunda a la primera, $y = 1$; restando la segunda a la tercera, $2y = 2$, es decir, otra vez $y = 1$. La tercera ecuación no aporta nada nuevo (es $2\cdot E_1 - E_2$): $\operatorname{rg} M = \operatorname{rg} M^* = 2 < 3$ incógnitas, sistema compatible indeterminado (infinitas soluciones, con un parámetro): $x = 1 - \lambda,\ y = 1,\ z = \lambda$.

Resumen:b) Para $a = 2$ el determinante vale $2\cdot 1 = 2 \neq 0$: el sistema es compatible determinado y se puede resolver.$$\left\{\begin{array}{l} x + 2y + z = 2 \\ x + z = 2 \\ 2x + 2y + z = 3 \end{array}\right.$$

• Primera menos segunda: $2y = 0 \Rightarrow y = 0$.
• Tercera menos primera: $x = 1$.
• De la segunda: $z = 2 - x = 1$.

Comprobación: $1 + 0 + 1 = 2$, $\ 1 + 1 = 2$, $\ 2 + 0 + 1 = 3$.